מתכונת ב

הכלל: רדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק; שני משולשים שיש להם שתי זוויות שוות בהתאמה דומים (ז.ז), ויחס הדמיון יחד עם משפט פיתגורס נותן משוואה עבור הגובה.

$\angle AEO = 90^\circ$ (הרדיוס $OE$ מאונך למשיק $AB$ בנקודת ההשקה)

$\angle ADB = 90^\circ$ ($AD$ גובה לבסיס)

$\angle EAO = \angle DAB$ (זווית משותפת, כי $O$ על $AD$ ו $E$ על $AB$)

לכן לפי ז.ז: $\triangle AEO \sim \triangle ADB$. מש״ל

נסמן $AD = h$. אז $AO = AD - OD = h - r$

יחס הדמיון:

$\dfrac{OE}{BD} = \dfrac{AE}{AD} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{r}{x} = \dfrac{AE}{h} \quad\Rightarrow\quad AE = \dfrac{rh}{x}$

משפט פיתגורס במשולש $AEO$ (ישר זווית בקודקוד $E$):

$AO^2 = AE^2 + OE^2 \quad\Rightarrow\quad (h - r)^2 = \dfrac{r^2h^2}{x^2} + r^2$

פותחים סוגריים:

$h^2 - 2rh + r^2 = \dfrac{r^2h^2}{x^2} + r^2 \quad\Rightarrow\quad h^2 - 2rh = \dfrac{r^2h^2}{x^2}$

מחלקים בביטוי $h > 0$:

$h - 2r = \dfrac{r^2h}{x^2} \quad\Rightarrow\quad h - \dfrac{r^2h}{x^2} = 2r$

גורם משותף:

$h \cdot \dfrac{x^2 - r^2}{x^2} = 2r \quad\Rightarrow\quad h = \dfrac{2rx^2}{x^2 - r^2}$

הסרטוט, עם שני המשולשים הדומים:

הכלל: שטח משולש הוא מחצית הבסיס כפול הגובה לבסיס; תחום הערכים של המשתנה נקבע מכך שכל האורכים בבעיה חיוביים.

הבסיס: $BC = 2 \cdot BD = 2x$

השטח:

$S(x) = \dfrac12 \cdot 2x \cdot \dfrac{2rx^2}{x^2 - r^2} = \dfrac{2rx^3}{x^2 - r^2}$

הגובה חיובי, והמונה $2rx^2$ חיובי, ולכן גם המכנה חיובי:

$x^2 - r^2 > 0 \quad\Rightarrow\quad x > r$ (כי $x > 0$)

הכלל: הערך המינימלי של פונקציית המטרה נמצא בנקודה שבה הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן ממינוס לפלוס; גוזרים לפי כלל המנה $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$, כאשר $r$ קבוע.

פונקציית המטרה:

$S(x) = \dfrac{2rx^3}{x^2 - r^2}, \qquad x > r$

כלל המנה:

$S'(x) = \dfrac{6rx^2 \cdot \left(x^2 - r^2\right) - 2rx^3 \cdot 2x}{\left(x^2 - r^2\right)^2}$

מפשטים את המונה:

$6rx^4 - 6r^3x^2 - 4rx^4 = 2rx^4 - 6r^3x^2 = 2rx^2\left(x^2 - 3r^2\right)$

המכנה חיובי, וגם $2rx^2 > 0$. משווים את הגורם הנותר לאפס:

$x^2 - 3r^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \sqrt3\, r$ (כי $x > r > 0$)

טבלת סימנים (הסימן של $x^2 - 3r^2$):

מציבים $x = \sqrt3\, r$, כאשר $x^3 = 3\sqrt3\, r^3$ וגם $x^2 - r^2 = 2r^2$:

$S\left(\sqrt3\, r\right) = \dfrac{2r \cdot 3\sqrt3\, r^3}{2r^2} = 3\sqrt3\, r^2$

הכלל: מציבים את הנתון בביטוי של השטח המינימלי ומקבלים את $r$; משולש שווה שוקיים שבו השוק שווה לבסיס הוא משולש שווה צלעות.

השוואה:

$3\sqrt3\, r^2 = 27\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad r^2 = 9 \quad\Rightarrow\quad r = 3$

חצי הבסיס:

$x = \sqrt3 \cdot 3 = 3\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad BC = 2x = 6\sqrt3$

הגובה, מסעיף א:

$AD = \dfrac{2 \cdot 3 \cdot 27}{27 - 9} = \dfrac{162}{18} = 9$

השוק, משפט פיתגורס במשולש $ADB$:

$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{81 + 27} = \sqrt{108} = 6\sqrt3$

$AB = AC = BC = 6\sqrt3$, ולכן המשולש שווה צלעות. מש״ל

הסרטוט עם הנתונים שמצאנו: