מתכונת ב

הכלל: תחום ההגדרה: הביטוי שמתחת לשורש במכנה חייב להיות חיובי. אסימפטוטה אופקית מוצאים מהגבול כאשר $x \to \infty$ וכאשר $x \to -\infty$; בגלל השורש $\sqrt{x^2} = |x|$, ולכן שני הגבולות יכולים להיות שונים.

(1) לכל $x$ מתקיים

$x^2 + 3 \ge 3 > 0$

ולכן הפונקציה מוגדרת לכל $x$.

(2) המכנה אינו מתאפס, ולכן אין אסימפטוטה אנכית.

כאשר $x > 0$ מתקיים $\sqrt{x^2 + 3} = x\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}$, ולכן:

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x\left(1 - \frac{a}{x}\right)}{x\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}} = \dfrac{1 - 0}{\sqrt{1 + 0}} = 1$

כאשר $x < 0$ מתקיים $\sqrt{x^2 + 3} = -x\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}$, ולכן:

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x\left(1 - \frac{a}{x}\right)}{-x\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}} = -\dfrac{1 - 0}{\sqrt{1 + 0}} = -1$

שתי אסימפטוטות אופקיות:

$y = 1 \;\; (x \to \infty), \qquad y = -1 \;\; (x \to -\infty)$

הכלל: נקודת קיצון נמצאת היכן שהנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן. גוזרים לפי כלל המנה $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$, כאשר את $v = \sqrt{x^2+3}$ גוזרים כפול הנגזרת הפנימית, וקובעים את הסוג בטבלת סימנים.

הנוסחה:

$u = x - a, \;\; u' = 1, \;\; v = \sqrt{x^2 + 3}, \;\; v' = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+3}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}$

ההצבה:

$f'(x) = \dfrac{1 \cdot \sqrt{x^2 + 3} - (x - a) \cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}}{x^2 + 3}$

כופלים מונה ומכנה ב $\sqrt{x^2 + 3}$:

$f'(x) = \dfrac{x^2 + 3 - x(x - a)}{\left(x^2 + 3\right)\sqrt{x^2 + 3}}$

מפשטים את המונה:

$f'(x) = \dfrac{ax + 3}{\left(x^2 + 3\right)\sqrt{x^2 + 3}}$

המכנה חיובי. משווים את המונה לאפס:

$ax + 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -\dfrac{3}{a}$

טבלת סימנים ($a > 0$, ולכן $ax + 3$ שלילי משמאל לנקודה וחיובי מימין לה):

שיעור $y$, המונה בנקודה:

$-\dfrac{3}{a} - a = -\dfrac{3 + a^2}{a}$

המכנה בנקודה ($a > 0$):

$\sqrt{\dfrac{9}{a^2} + 3} = \sqrt{\dfrac{9 + 3a^2}{a^2}} = \dfrac{\sqrt{3\left(a^2 + 3\right)}}{a}$

מחלקים ומצמצמים:

$f\left(-\dfrac{3}{a}\right) = -\dfrac{a^2 + 3}{\sqrt{3\left(a^2 + 3\right)}} = -\sqrt{\dfrac{a^2 + 3}{3}}$

הכלל: שיעור ה $y$ של הקיצון מסעיף ב תלוי ב $a$. משווים אותו לנתון ופותרים את המשוואה עבור $a$, תוך שימוש בתנאי $a > 0$.

הפרמטר חיובי, ולכן:

$a = 3$

נקודת המינימום:

$\left(-\dfrac{3}{3}, \; -2\right) = (-1, -2)$

הכלל: סקיצה בונים מכל מה שנמצא בחקירה: תחום ההגדרה, אסימפטוטות, נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה, ונקודות החיתוך עם הצירים.

הפונקציה:

$f(x) = \dfrac{x - 3}{\sqrt{x^2 + 3}}$

חיתוך עם ציר $x$:

$x - 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad (3, 0)$

חיתוך עם ציר $y$:

$f(0) = \dfrac{-3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3} \quad\Rightarrow\quad \left(0, -\sqrt{3}\right)$

מסעיפים א עד ג: הפונקציה יורדת כאשר $x < -1$, עולה כאשר $x > -1$, ונקודת המינימום היא $(-1, -2)$.

הסקיצה:

הכלל: $f(x)$ היא פונקציה קדומה של $f'(x)$, ולכן $\int_{c}^{d} f'(x)\,dx = f(d) - f(c)$. שטח הוא תמיד חיובי: בקטע שבו $f'(x) < 0$ לוקחים את האינטגרל עם סימן מינוס. משוואה עם שורש פותרים בהעלאה בריבוע, ובודקים כל פתרון.

(1) מסעיף ב, עם $a = 3$:

$f'(x) = \dfrac{3(x + 1)}{\left(x^2 + 3\right)\sqrt{x^2 + 3}}$

הסימן נקבע לפי $x + 1$: הנגזרת שלילית כאשר $x < -1$, וחיובית כאשר $x > -1$.

ערכי $f$ בנקודות הדרושות:

$f(-3) = \dfrac{-6}{\sqrt{12}} = -\sqrt{3}, \qquad f(-1) = -2, \qquad f(3) = 0$

החלק השמאלי, מתחת לציר $x$:

$S_1 = -\int_{-3}^{-1} f'(x)\,dx = -\left[f(-1) - f(-3)\right] = -\left(-2 + \sqrt{3}\right) = 2 - \sqrt{3}$

החלק הימני, מעל ציר $x$:

$S_2 = \int_{-1}^{3} f'(x)\,dx = f(3) - f(-1) = 0 - (-2) = 2$

מחברים:

$S = S_1 + S_2 = 2 - \sqrt{3} + 2 = 4 - \sqrt{3} \approx 2.268$

השטח בסרטוט:

(2) כאשר $x > -1$ הנגזרת חיובית, ולכן השטח שווה לאינטגרל:

$\int_{-1}^{k} f'(x)\,dx = f(k) - f(-1) = f(k) + 2$

כופלים במכנים:

$2(k - 3) = \sqrt{k^2 + 3}$

מעלים בריבוע:

$4\left(k^2 - 6k + 9\right) = k^2 + 3 \quad\Rightarrow\quad 3k^2 - 24k + 33 = 0 \quad\Rightarrow\quad k^2 - 8k + 11 = 0$

אגף ימין של $2(k - 3) = \sqrt{k^2 + 3}$ חיובי, ולכן $k > 3$. הפתרון $k = 4 - \sqrt{5} \approx 1.76$ נפסל, ונשאר:

$k = 4 + \sqrt{5} \approx 6.236$