מתכונת ב

הכלל: חוצה הזווית מחלק את המשולש לשני משולשים, ולכן $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ADC}$. כל שטח כותבים כחצי מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן.

שטח המשולש $ABC$, עם $\angle BAC = 2\alpha$:

$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot 2k \cdot k \cdot \sin(2\alpha) = k^2 \sin(2\alpha)$

שטח המשולש $ABD$:

$S_{\triangle ABD} = \dfrac{1}{2} \cdot 2k \cdot AD \cdot \sin(\alpha) = k \cdot AD \cdot \sin(\alpha)$

שטח המשולש $ADC$:

$S_{\triangle ADC} = \dfrac{1}{2} \cdot k \cdot AD \cdot \sin(\alpha)$

מציבים בסכום השטחים:

$k^2 \sin(2\alpha) = k \cdot AD \cdot \sin(\alpha) + \dfrac{1}{2} \cdot k \cdot AD \cdot \sin(\alpha) = \dfrac{3}{2} \cdot k \cdot AD \cdot \sin(\alpha)$

זהות היא שוויון שנכון לכל זווית. לפי הזהות $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$ מדף הנוסחאות:

$2k^2 \sin(\alpha)\cos(\alpha) = \dfrac{3}{2} \cdot k \cdot AD \cdot \sin(\alpha)$

מחלקים ב $\dfrac{3}{2} \cdot k \cdot \sin(\alpha)$, שהוא שונה מאפס:

$AD = \dfrac{4k}{3}\cos(\alpha)$

הכלל: מציבים את הנתון $AD = AC = k$ בביטוי של סעיף א, ופותרים את המשוואה שמתקבלת עבור $\cos(\alpha)$.

מחלקים ב $k$ ומבודדים:

$\cos(\alpha) = \dfrac{3}{4}$

הזווית $2\alpha$ היא זווית במשולש, ולכן $\alpha < 90^\circ$:

$\alpha = \cos^{-1}\left(\dfrac{3}{4}\right) \approx 41.41^\circ$

הסרטוט עם הנתונים החדשים:

הכלל: משפט הסינוסים המורחב: בכל משולש, צלע חלקי הסינוס של הזווית שמולה שווה ל $2R$, כאשר $R$ רדיוס המעגל החוסם. במשולש $ADC$ הצלע $AC = k$ מונחת מול הזווית $ADC$, ואת הזווית הזו מוצאים מזוויות הבסיס של משולש שווה שוקיים.

המשולש $ADC$ שווה שוקיים ($AD = AC$), ולכן זוויות הבסיס שלו שוות:

$\angle ADC = \angle ACD = \dfrac{180^\circ - 41.41^\circ}{2} = 69.30^\circ$

משפט הסינוסים המורחב במשולש $ADC$:

$\dfrac{AC}{\sin(\angle ADC)} = 2R \quad\Rightarrow\quad \dfrac{k}{\sin(69.30^\circ)} = 2 \cdot 2 = 4$

הסרטוט עם הערך שמצאנו:

הכלל: משפט הסינוסים המורחב במשולש $ABC$: הצלע $AB$ חלקי הסינוס של הזווית שמולה, $\angle ACB$, שווה לפעמיים הרדיוס של המעגל החוסם את המשולש.

הנקודה $D$ על $BC$, ולכן לפי סעיף ג:

$\angle ACB = \angle ACD = \angle ADC \approx 69.30^\circ$

משפט הסינוסים המורחב במשולש $ABC$, עם $AB = 2k$:

$2R_{ABC} = \dfrac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \dfrac{2k}{\sin(\angle ADC)} = 2 \cdot \dfrac{k}{\sin(\angle ADC)}$

בסעיף ג מצאנו $\dfrac{k}{\sin(\angle ADC)} = 4$, ולכן:

$2R_{ABC} = 2 \cdot 4 = 8 \quad\Rightarrow\quad R_{ABC} = 4$

בדיקה במספרים:

$R_{ABC} = \dfrac{2 \cdot 3.742}{2 \cdot \sin(69.30^\circ)} \approx \dfrac{7.483}{1.871} \approx 4$

הסרטוט עם המעגל החוסם (מרכזו $O$):