מתכונת ב

הכלל: שלושה מספרים הם איברים עוקבים בסדרה הנדסית כאשר ריבוע האמצעי שווה למכפלת שני שכניו: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$. מבטאים את שלושת האיברים באמצעות $a_1$ וגם $d$ לפי $a_n = a_1 + (n-1)d$.

שלושת האיברים:

$a_2 = a_1 + d, \quad a_5 = a_1 + 4d, \quad a_{14} = a_1 + 13d$

מציבים בתנאי:

$(a_1 + 4d)^2 = (a_1 + d)(a_1 + 13d)$

פותחים סוגריים:

$a_1^2 + 8a_1 d + 16d^2 = a_1^2 + 14a_1 d + 13d^2$

מכנסים איברים:

$3d^2 = 6a_1 d$

מחלקים ב $3d$ (מותר, כי $d \ne 0$):

$d = 2a_1$

מש״ל

מכאן גם $a_1 \ne 0$, והאיבר הכללי:

$a_n = a_1 + (n-1) \cdot 2a_1 = a_1(2n - 1)$

המנה:

$q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{a_5}{a_2} = \dfrac{9a_1}{3a_1} = 3$

בדיקה עם האיבר השלישי:

$\dfrac{b_3}{b_2} = \dfrac{a_{14}}{a_5} = \dfrac{27a_1}{9a_1} = 3$

הכלל: האיבר $b_n$ נמצא בסדרה $a_n$ אם קיים מקום טבעי $m$ שבו $a_m = b_n$. מבטאים את שני האיברים באמצעות $a_1$, פותרים עבור $m$, ומראים ש $m$ טבעי.

האיבר הכללי של הסדרה ההנדסית, עם $b_1 = a_2 = 3a_1$ וגם $q = 3$:

$b_n = 3a_1 \cdot 3^{n-1} = a_1 \cdot 3^n$

מחפשים מקום $m$ שבו $a_m = b_n$:

$a_1(2m - 1) = a_1 \cdot 3^n$

מחלקים ב $a_1$ (שונה מאפס):

$2m - 1 = 3^n \quad\Rightarrow\quad m = \dfrac{3^n + 1}{2}$

המספר $3^n$ אי-זוגי (מכפלה של מספרים אי-זוגיים), ולכן $3^n + 1$ זוגי. מכאן ש $m$ הוא מספר טבעי, והאיבר $b_n$ אכן נמצא בסדרה $a_n$. מש״ל

בדיקה:

$n = 1 \Rightarrow m = 2, \qquad n = 2 \Rightarrow m = 5, \qquad n = 3 \Rightarrow m = 14$

הכלל: סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה חשבונית: $S_n = \dfrac{n}{2}\left(2a_1 + (n-1)d\right)$. מציבים את הקשר $d = 2a_1$ מסעיף א.

מוציאים גורם משותף $2a_1$ מהסוגריים:

$S_n = \dfrac{n}{2} \cdot 2a_1 \cdot (1 + n - 1) = \dfrac{n}{2} \cdot 2a_1 \cdot n$

$S_n = a_1 \cdot n^2$

מש״ל

מציבים $n = 20$:

$S_{20} = a_1 \cdot 20^2 = 400 \cdot a_1$

הכלל: לפי סעיף ב, האיבר $b_n$ נמצא בסדרה $a_n$ במקום $m = \dfrac{3^n + 1}{2}$, ואיבר $a_m$ שווה לאיבר כלשהו של $b_n$ רק במקום כזה. סופרים כמה מהמקומות האלה הם עד $400$, ומחברים את האיברים בנוסחת הסכום של סדרה הנדסית $S_n = \dfrac{b_1\left(q^n - 1\right)}{q - 1}$.

התנאי על המקום:

$\dfrac{3^n + 1}{2} \le 400 \quad\Rightarrow\quad 3^n \le 799$

חזקות של $3$:

$3^6 = 729 \le 799, \qquad 3^7 = 2187 > 799$

לכן $n = 1, 2, \ldots, 6$: שישה איברים, במקומות

$a_2, \; a_5, \; a_{14}, \; a_{41}, \; a_{122}, \; a_{365}$

האיבר $a_1 = 3$ אינו בסדרה $b_n$, כי האיבר הקטן ביותר שלה הוא

$b_1 = a_2 = 3 \cdot 3 = 9$

סכום $6$ האיברים הראשונים בסדרה $b_n$, עם $b_1 = 9$ וגם $q = 3$:

$S_6 = \dfrac{9\left(3^6 - 1\right)}{3 - 1}$