מתכונת ב

הכלל: במשולש, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות. לכן מוכיחים ששתי הזוויות של המשולש $DCE$ שליד הצלע $CE$ שוות, בעזרת זווית היקפית הנשענת על קוטר והזווית בין משיק למיתר.

נסמן $\angle CAB = \alpha$:

$\angle ACB = 90^\circ$ (זווית היקפית הנשענת על הקוטר $AB$)

$\angle DCB = \angle CAB = \alpha$ (הזווית בין המשיק $DC$ למיתר $CB$ שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר $CB$)

הזווית $ACD$ מורכבת משתי זוויות:

$\angle ACD = \angle ACB + \angle BCD = 90^\circ + \alpha$

הנקודות $A$, $C$, $E$ על ישר אחד, ולכן הזוויות $ACD$ וגם $DCE$ צמודות:

$\angle DCE = 180^\circ - (90^\circ + \alpha) = 90^\circ - \alpha$

במשולש $ADE$ הזווית $D$ ישרה (נתון), ולכן לפי סכום הזוויות במשולש:

$\angle AED = 180^\circ - 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \alpha$

במשולש $DCE$:

$\angle DCE = \angle DEC = 90^\circ - \alpha$

מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות, ולכן $DC = DE$. מש״ל

הכלל: שני משולשים דומים כאשר שתי זוויות של האחד שוות לשתי זוויות של השני (ז.ז). הזוויות השוות כאן: זווית משותפת, והזווית בין משיק למיתר.

$\angle BDC = \angle CDA$ (זווית משותפת)

$\angle DCB = \angle CAB = \alpha$ (הזווית בין משיק למיתר, סעיף א)

הנקודה $B$ על הקטע $AD$, ולכן הקרן $AB$ היא הקרן $AD$:

$\angle DAC = \angle CAB = \alpha = \angle DCB$

לכן $\triangle DBC \sim \triangle DCA$ (ז.ז), בהתאמה $D \to D$, $B \to C$, $C \to A$. מש״ל

הכלל: מהדמיון של סעיף ב היחס בין צלעות מתאימות קבוע: $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{BC}{CA} = \dfrac{DC}{DA}$. ממנו מוצאים את $DC$ ואת $AC$, ובעזרת משפט פיתגורס במשולשים ישרי הזווית $ADE$ וגם $ACB$ מגיעים אל $CE = AE - AC$.

הקוטר והקטע $DA$:

$AB = 2 \cdot 3 = 6, \qquad DA = DB + BA = 2 + 6 = 8$

מהדמיון:

$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{DC}{DA} \quad\Rightarrow\quad DC^2 = DB \cdot DA = 2 \cdot 8 = 16$

מכאן $DC = 4$, ולפי סעיף א:

$DE = DC = 4$

משפט פיתגורס במשולש $ADE$:

$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$

מהדמיון, יחס הצלעות:

$\dfrac{BC}{CA} = \dfrac{DC}{DA} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad CA = 2 \cdot BC$

משפט פיתגורס במשולש $ACB$, שבו $\angle ACB = 90^\circ$:

$(2 \cdot BC)^2 + BC^2 = 6^2 \quad\Rightarrow\quad 5 \cdot BC^2 = 36$

הנקודה $C$ בין $A$ לבין $E$:

$CE = AE - AC = 4\sqrt{5} - \dfrac{12}{\sqrt{5}} = \dfrac{20 - 12}{\sqrt{5}} = \dfrac{8}{\sqrt{5}} \approx 3.578$

הסרטוט עם האורכים שמצאנו:

הכלל: יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון, ולשני משולשים עם אותו גובה יחס השטחים הוא יחס הבסיסים. משרשרים את שני היחסים: מהמשולש $BCD$ אל המשולש $DCA$, וממנו אל המשולש $ADE$.

יחס הדמיון בין $\triangle DBC$ לבין $\triangle DCA$ (סעיף ג):

$\dfrac{DC}{DA} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון:

$\dfrac{S_{\triangle DBC}}{S_{\triangle DCA}} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad S_{\triangle DCA} = 4S$

למשולשים $ACD$ וגם $AED$ אותו גובה מהקודקוד $D$ לישר $AE$:

$\dfrac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle AED}} = \dfrac{AC}{AE} = \dfrac{12}{\sqrt{5}} : 4\sqrt{5} = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$

מבודדים:

$S_{\triangle ADE} = \dfrac{5}{3} \cdot 4S = \dfrac{20S}{3}$

המשולש $BCD$ (שטחו $S$) והמשולש $ADE$ בסרטוט: