מתכונת ב

הכלל: כשהזריקות נעשות זו אחר זו בונים עץ הסתברות: כופלים לאורך כל מסלול, ומחברים מסלולים זרים. נועה מנצחת בשני מסלולים זרים (בזריקה הראשונה שלה או בשנייה), וכך גם עידו.

עץ של משחק אחד, עם מסלולי הניצחון של נועה מסומנים:

נסמן $N$: נועה מנצחת, $I$: עידו מנצח. שני המסלולים של נועה:

$P(N) = p + (1-p) \cdot 0.5 \cdot p$

מוציאים גורם משותף $p$:

$P(N) = p\left(1 + \dfrac{1-p}{2}\right)$

שני המסלולים של עידו:

$P(I) = (1-p) \cdot 0.5 + (1-p) \cdot 0.5 \cdot (1-p) \cdot 0.5 = \dfrac{1-p}{2}\left(1 + \dfrac{1-p}{2}\right)$

מציבים בתנאי $P(N) = 4 \cdot P(I)$:

$p\left(1 + \dfrac{1-p}{2}\right) = 4 \cdot \dfrac{1-p}{2}\left(1 + \dfrac{1-p}{2}\right)$

מחלקים בגורם המשותף (הוא חיובי):

$p = 2(1-p)$

הכלל: "ידוע שנועה ניצחה" הוא תנאי, ולכן הסתברות מותנית $P(W \mid N) = \dfrac{P(W \cap N)}{P(N)}$, כאשר $W$ הוא המאורע "נועה פגעה בזריקה השנייה שלה". מאורע זה מוכל ב $N$, ולכן המונה הוא מסלול אחד בעץ.

העץ עם $p = \dfrac{2}{3}$, והמסלול המבוקש מסומן:

המונה, הניצחון בזריקה השנייה:

$P(W) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{9}$

המכנה, שני המסלולים של נועה:

$P(N) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{7}{9}$

מחלקים:

$P(W \mid N) = \dfrac{1}{9} : \dfrac{7}{9} = \dfrac{1}{7}$

הכלל: $6$ משחקים בלתי תלויים, ובכל אחד אותה הסתברות לניצחון של נועה, ולכן ברנולי: $P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot P(N)^k \cdot \left(1 - P(N)\right)^{n-k}$. "יותר ממחצית" פירושו $k = 4, 5, 6$.

הנתונים:

$n = 6, \quad P(N) = \dfrac{7}{9}, \quad 1 - P(N) = \dfrac{2}{9}$

ארבעה ניצחונות:

$\binom{6}{4} \cdot \left(\dfrac{7}{9}\right)^4 \cdot \left(\dfrac{2}{9}\right)^2 = \dfrac{15 \cdot 2401 \cdot 4}{9^6} = \dfrac{144060}{531441}$

חמישה ניצחונות:

$\binom{6}{5} \cdot \left(\dfrac{7}{9}\right)^5 \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{6 \cdot 16807 \cdot 2}{9^6} = \dfrac{201684}{531441}$

שישה ניצחונות:

$\left(\dfrac{7}{9}\right)^6 = \dfrac{117649}{531441}$

מחברים:

$\dfrac{144060 + 201684 + 117649}{531441} = \dfrac{463393}{531441} \approx 0.872$

הכלל: "ידוע שלא היה תיקו" הוא תנאי, ולכן $P(A \mid T) = \dfrac{P(A \cap T)}{P(T)}$, כאשר $T$ הוא המאורע "אין תיקו בשלושת המשחקים" וגם $A$ הוא המאורע "נועה ניצחה בדיוק בשניים". המשחקים בלתי תלויים, ולכן כופלים את ההסתברויות של המשחקים.

תיקו במשחק אחד, ארבע החטאות:

$\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{36}$

עידו מנצח במשחק אחד:

$P(I) = 1 - \dfrac{7}{9} - \dfrac{1}{36} = \dfrac{36 - 28 - 1}{36} = \dfrac{7}{36}$

המכנה, אין תיקו באף משחק:

$P(T) = \left(1 - \dfrac{1}{36}\right)^3 = \left(\dfrac{35}{36}\right)^3$

המונה: בשני משחקים נועה מנצחת ובשלישי עידו מנצח, בשלושה סדרים:

$P(A \cap T) = 3 \cdot \left(\dfrac{28}{36}\right)^2 \cdot \dfrac{7}{36}$

מחלקים, והחזקות של $36$ מצטמצמות:

$P(A \mid T) = \dfrac{3 \cdot 28^2 \cdot 7}{35^3} = \dfrac{16464}{42875}$

מצמצמים ב $343$:

$\dfrac{16464}{42875} = \dfrac{48}{125} = 0.384$