מתכונת ב

הכלל: השוויון מתקיים עבור $n = 1$ ועבור $n = 2$, ולכן שתי ההצבות נותנות שתי משוואות בנעלמים $a$ וגם $b$. את ההוכחה עושים באינדוקציה: בדיקה עבור $n = 1$, הנחה עבור $n = k$, והוכחה עבור $n = k + 1$.

(1) הצבה של $n = 1$, הסכום הוא האיבר הראשון בלבד:

$4 = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot (a + b)}{3} \quad\Rightarrow\quad a + b = 6$

הצבה של $n = 2$:

$1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 = \dfrac{2 \cdot 3 \cdot (2a + b)}{3}$

מחסרים את המשוואה הראשונה מהשנייה:

$(2a + b) - (a + b) = 7 - 6 \quad\Rightarrow\quad a = 1$

(2) השוויון שמוכיחים:

בדיקה עבור $n = 1$:

$1 \cdot 4 = 4 = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 6}{3}$

הנחה: נניח שהשוויון נכון עבור $n = k$:

צריך להוכיח עבור $n = k + 1$:

הוכחה. מציבים את ההנחה בסכום שבאגף שמאל:

מוציאים גורם משותף $(k+1)$ במונה:

מפרקים את הטרינום, $k^2 + 8k + 12 = (k+2)(k+6)$, ולכן הסכום שווה ל:

וזה בדיוק אגף ימין של השוויון עבור $n = k + 1$.

השוויון נכון עבור $n = 1$, ומנכונותו עבור $n = k$ נובעת נכונותו עבור $n = k + 1$. לכן הוא נכון לכל $n$ טבעי. מש״ל

הכלל: כשישר חותך שני ישרים מקבילים נוצרות זוויות מתחלפות שוות, ולכן $\triangle FBE \sim \triangle FDA$ (ז.ז). יחסי השטחים נקבעים מגבהים משותפים: לשני משולשים עם אותו גובה, יחס השטחים הוא יחס הבסיסים.

(1) במקבילית $AD \parallel BC$. הישר $BD$ חותך אותם:

$\angle FBE = \angle FDA$ (זוויות מתחלפות)

הישר $AE$ חותך אותם:

$\angle FEB = \angle FAD$ (זוויות מתחלפות)

לכן $\triangle FBE \sim \triangle FDA$ (ז.ז). צלעות נגדיות במקבילית שוות, $AD = BC$, ולכן:

$BE = \dfrac{2}{3} \cdot BC = \dfrac{2}{3} \cdot AD$

יחס הדמיון:

$\dfrac{BF}{FD} = \dfrac{BE}{AD} = \dfrac{2}{3}$

מש״ל

באותו יחס דמיון:

$\dfrac{EF}{FA} = \dfrac{BF}{FD} = \dfrac{2}{3}$

(2) נסמן ב $S$ את שטח המקבילית. האלכסון $BD$ מחלק אותה לשני משולשים חופפים:

$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle BCD} = \dfrac{S}{2}$

למשולשים $ABF$ וגם $ABD$ אותו גובה מהקודקוד $A$, והבסיסים שלהם על $BD$:

$S_{\triangle ABF} = \dfrac{BF}{BD} \cdot S_{\triangle ABD} = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{S}{2} = \dfrac{S}{5}$

למשולשים $BEF$ וגם $BAF$ אותו גובה מהקודקוד $B$, והבסיסים שלהם על $AE$:

$S_{\triangle BEF} = \dfrac{EF}{FA} \cdot S_{\triangle BAF} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{S}{5} = \dfrac{2S}{15}$

שטח המרובע הוא שטח המשולש $BCD$ פחות שטח המשולש $BEF$:

$S_{EFDC} = \dfrac{S}{2} - \dfrac{2S}{15} = \dfrac{15S - 4S}{30} = \dfrac{11S}{30}$

היחס המבוקש:

$\dfrac{S_{EFDC}}{S_{ABCD}} = \dfrac{11}{30}$

הכלל: $g$ היא פונקציה קדומה של $f$, ולכן $g(x) = \int f(x)\,dx$. המונה $x$ הוא חצי מהנגזרת הפנימית של $x^2 + 1$, ולכן מתאים הכלל $\int u' \cdot u^{n}\,dx = \dfrac{u^{n+1}}{n+1} + C$. את שני הנעלמים, $a$ וגם $C$, מוצאים משני הנתונים: האסימפטוטה והנקודה.

כותבים את $f$ כך שתופיע הנגזרת הפנימית $2x$:

$f(x) = \dfrac{a}{2} \cdot 2x \cdot \left(x^2 + 1\right)^{-2}$

פונקציה קדומה, עם $n = -2$:

$g(x) = \dfrac{a}{2} \cdot \dfrac{\left(x^2+1\right)^{-1}}{-1} + C = -\dfrac{a}{2\left(x^2+1\right)} + C$

כאשר $x \to \pm\infty$ השבר שואף לאפס, ולכן האסימפטוטה האופקית היא $y = C$:

$C = 1$

מציבים את הנקודה $(0, -2)$:

$g(0) = -\dfrac{a}{2 \cdot 1} + 1 = -2$

הפונקציה:

$g(x) = 1 - \dfrac{3}{x^2 + 1}$

בדיקה, גוזרים את $g$:

$g'(x) = \dfrac{3 \cdot 2x}{\left(x^2+1\right)^2} = \dfrac{6x}{\left(x^2+1\right)^2}$

(2) חיתוך עם ציר $x$, משווים לאפס:

$1 - \dfrac{3}{x^2 + 1} = 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 + 1 = 3$

הכלל: מנוסחת האיחוד $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$, וכיוון ש $P(A \cup B) \le 1$, החיתוך חסום מלמטה: $P(A \cap B) \ge P(A) + P(B) - 1$. בחלק (2) "מבין המטיילים שאינם יודעים לשחות" הוא תנאי, ולכן $P(B \mid \bar{A}) = \dfrac{P(B \cap \bar{A})}{P(\bar{A})}$.

(1) מסמנים $A$: יודע לשחות, $B$: יודע לרכוב. מציבים בחסם:

$P(A \cap B) \ge 0.7 + 0.55 - 1 = 0.25$

לפחות רבע מהמטיילים יודעים גם לשחות וגם לרכוב, ולכן הטענה לא נכונה.

(2) החיתוך, מתוך ההסתברות המותנית הנתונה:

$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B) = 0.55 \cdot \dfrac{9}{11} = 0.45$

יודעים לרכוב ואינם יודעים לשחות:

$P(B \cap \bar{A}) = P(B) - P(A \cap B) = 0.55 - 0.45 = 0.1$

אינם יודעים לשחות:

$P(\bar{A}) = 1 - 0.7 = 0.3$

טבלת ההסתברויות של הקבוצה:

מחלקים:

$P(B \mid \bar{A}) = \dfrac{0.1}{0.3} = \dfrac{1}{3}$