מתכונת ב

הכלל: מנה מוגדרת כאשר המכנה שונה מאפס, ומתאפסת כאשר המונה מתאפס. פונקציה אי-זוגית מקיימת $f(-x) = -f(x)$ לכל $x$ בתחום (התחום סימטרי סביב $0$).

(1) מתקיים $\cos(x) \ge -1$ וגם $a > 1$, ולכן:

$a + \cos(x) \ge a - 1 > 0$

המכנה אינו מתאפס, והפונקציה מוגדרת בכל התחום.

(2) מציבים $-x$:

$f(-x) = \dfrac{\sin(-x)}{a + \cos(-x)} = \dfrac{-\sin(x)}{a + \cos(x)} = -f(x)$

הפונקציה אי-זוגית. מש״ל

(3) חיתוך עם ציר $x$:

$\sin(x) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -\pi, \; 0, \; \pi$

הכלל: נקודת קיצון פנימית נמצאת היכן שהנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן. גוזרים לפי כלל המנה $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$, כאשר ברדיאנים $(\sin(x))' = \cos(x)$ וגם $(\cos(x))' = -\sin(x)$.

הנוסחה:

$u = \sin(x), \;\; u' = \cos(x), \;\; v = a + \cos(x), \;\; v' = -\sin(x)$

ההצבה:

$f'(x) = \dfrac{\cos(x)\left(a + \cos(x)\right) - \sin(x) \cdot \left(-\sin(x)\right)}{\left(a + \cos(x)\right)^2}$

פותחים סוגריים במונה:

$f'(x) = \dfrac{a\cos(x) + \cos^2(x) + \sin^2(x)}{\left(a + \cos(x)\right)^2}$

זהות היא שוויון שנכון לכל $x$. לפי הזהות $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$:

$f'(x) = \dfrac{a\cos(x) + 1}{\left(a + \cos(x)\right)^2}$

המכנה חיובי. משווים את המונה לאפס:

$a\cos(x) + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad \cos(x) = -\dfrac{1}{a}$

מש״ל

בתחום $0 < x < \pi$ הביטוי $a\cos(x) + 1$ יורד מהערך $a + 1 > 0$ אל הערך $1 - a < 0$, ולכן הנגזרת עוברת מחיוב לשלילה פעם אחת: זו נקודת המקסימום הפנימית, ובה $\sin(x) > 0$.

מוצאים את $\sin(x)$ בנקודה זו מאותה זהות:

$\sin(x) = \sqrt{1 - \dfrac{1}{a^2}} = \dfrac{\sqrt{a^2 - 1}}{a}$

המכנה בנקודה זו:

$a + \cos(x) = a - \dfrac{1}{a} = \dfrac{a^2 - 1}{a}$

מחלקים:

$f(x) = \dfrac{\sqrt{a^2 - 1}}{a} \cdot \dfrac{a}{a^2 - 1} = \dfrac{1}{\sqrt{a^2 - 1}}$

הכלל: שיפוע המשיק לגרף בנקודה שווה לערך הנגזרת באותה נקודה. מציבים $x = 0$ בנגזרת מסעיף ב ומשווים לשיפוע הנתון.

$a = 2$, והוא מקיים את התנאי $a > 1$.

הכלל: בתחום סגור, נקודות הקיצון הן הנקודות הפנימיות שבהן הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן, וגם קצות התחום. את הסוג קובעים מטבלת הסימנים של $f'(x)$.

הקיצון הפנימי, לפי סעיף ב:

$\cos(x) = -\dfrac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{2\pi}{3}, \;\; x = -\dfrac{2\pi}{3}$

שיעור ה $y$ של המקסימום, מהביטוי של סעיף ב:

$f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2^2 - 1}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

בדיקה ישירה בפונקציה:

$f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \frac{1}{2}} = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

הפונקציה אי-זוגית:

$f\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

טבלת סימנים (הסימן של $2\cos(x) + 1$):

קצות התחום:

$f(-\pi) = 0, \qquad f(\pi) = 0$

מהקצה $x = -\pi$ הפונקציה יורדת, ולכן $(-\pi, 0)$ נקודת מקסימום קצה; אל הקצה $x = \pi$ הפונקציה יורדת, ולכן $(\pi, 0)$ נקודת מינימום קצה.

הסקיצה:

הכלל: כשהגרף מעל ציר $x$, השטח הוא האינטגרל המסוים $\int_0^{\pi} g(x)\,dx$. המונה הוא הנגזרת הפנימית של המכנה עד כדי סימן, ולכן מתאים הכלל $\int u' \cdot u^{n}\,dx = \dfrac{u^{n+1}}{n+1} + C$.

הפונקציה:

$g(x) = \dfrac{\sin(x)}{\left(2 + \cos(x)\right)^2}$

בתחום $0 \le x \le \pi$ מתקיים $\sin(x) \ge 0$, ולכן $g(x) \ge 0$ והגרף מעל ציר $x$.

פונקציה קדומה, עם $u = 2 + \cos(x)$ וגם $u' = -\sin(x)$:

$\int \dfrac{\sin(x)}{\left(2 + \cos(x)\right)^2}\,dx = -\int u' \cdot u^{-2}\,dx = -\dfrac{u^{-1}}{-1} + C = \dfrac{1}{2 + \cos(x)} + C$

מציבים את גבולות האינטגרל:

$S = \left[\dfrac{1}{2 + \cos(x)}\right]_0^{\pi} = \dfrac{1}{2 + \cos(\pi)} - \dfrac{1}{2 + \cos(0)}$

השטח בסרטוט: