מתכונת א

הכלל: שיפוע ישר דרך שתי נקודות $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ ומשוואת ישר $y - y_1 = m(x - x_1)$. את $B$ מקבלים בהצבת $x = 0$, והדרישה ששתי נקודות החיתוך יהיו על החלקים החיוביים של הצירים קובעת את התחום של $t$.

השיפוע: $m = \dfrac{1 - 0}{8 - t} = \dfrac{1}{8 - t}$

משוואת הישר דרך $A(t, 0)$: $y = \dfrac{1}{8 - t} \cdot (x - t)$

מציבים $x = 0$: $y_B = \dfrac{-t}{8 - t} = \dfrac{t}{t - 8}$

התנאים $t > 0$ וגם $\dfrac{t}{t - 8} > 0$ מתקיימים יחד רק כאשר המכנה חיובי:

$t - 8 > 0 \quad\Rightarrow\quad t > 8$

מכאן: $OB = \dfrac{t}{t - 8}$

הכלל: פונקציית המטרה היא סכום שני הקטעים, באמצעות המשתנה $t$. גוזרים אותה (כלל המנה לשבר), משווים לאפס, פוסלים פתרון שמחוץ לתחום ובודקים בטבלת סימנים שזו נקודת מינימום.

פונקציית המטרה (סעיף א): $S(t) = OA + OB = t + \dfrac{t}{t - 8}, \quad t > 8$

נגזרת השבר בכלל המנה: $\left(\dfrac{t}{t-8}\right)' = \dfrac{1 \cdot (t - 8) - t \cdot 1}{(t-8)^2} = \dfrac{-8}{(t-8)^2}$

נגזרת פונקציית המטרה: $S'(t) = 1 - \dfrac{8}{(t-8)^2} = \dfrac{(t-8)^2 - 8}{(t-8)^2}$

משווים לאפס: $(t-8)^2 = 8 \quad\Rightarrow\quad t - 8 = \pm\sqrt8 = \pm 2\sqrt2$

הפתרון $t = 8 - 2\sqrt2$ נפסל (התחום הוא $t > 8$). נשאר: $t = 8 + 2\sqrt2 \approx 10.83$

טבלת הסימנים (המכנה חיובי, והסימן הוא הסימן של $(t-8)^2 - 8$):

הקטע $OB$: $OB = \dfrac{t}{t - 8} = \dfrac{8 + 2\sqrt2}{2\sqrt2} = \dfrac{8}{2\sqrt2} + 1 = \dfrac{4}{\sqrt2} + 1 = 2\sqrt2 + 1$

הסכום המינימלי: $S = (8 + 2\sqrt2) + (2\sqrt2 + 1) = 9 + 4\sqrt2 \approx 14.66$

הסרטוט כאשר $t = 8 + 2\sqrt2$:

הכלל: שטח משולש ישר זווית הוא חצי מכפלת הניצבים. זו פונקציית המטרה: גוזרים אותה בכלל המנה, משווים לאפס ובודקים בטבלת סימנים.

המשולש $AOB$ ישר זווית בקודקוד $O$:

$S(t) = \dfrac{OA \cdot OB}{2} = \dfrac12 \cdot t \cdot \dfrac{t}{t-8} = \dfrac{t^2}{2(t-8)}$

כלל המנה: $S'(t) = \dfrac{2t \cdot 2(t-8) - t^2 \cdot 2}{4(t-8)^2}$

מפשטים: $S'(t) = \dfrac{4t^2 - 32t - 2t^2}{4(t-8)^2} = \dfrac{2t(t-16)}{4(t-8)^2} = \dfrac{t(t-16)}{2(t-8)^2}$

משווים לאפס (בתחום $t > 8$ הגורם $t$ חיובי): $t - 16 = 0 \quad\Rightarrow\quad t = 16$

טבלת הסימנים (המכנה והגורם $t$ חיוביים):

השטח המינימלי: $S(16) = \dfrac{16^2}{2 \cdot (16 - 8)} = \dfrac{256}{16} = 16$

הנקודה $B$: $OB = \dfrac{16}{16 - 8} = 2$

אמצע הקטע בין $A(16, 0)$ לבין $B(0, 2)$: $\left(\dfrac{16 + 0}{2}, \, \dfrac{0 + 2}{2}\right) = (8, 1)$

זו בדיוק הנקודה $P$, ולכן כאשר השטח מינימלי $P$ היא אמצע הקטע $AB$. מש״ל