מתכונת א

הכלל: במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות, וזווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. כך מגלים שגם המשולש $ABD$ שווה שוקיים, ואת השוק מחשבים בקוסינוס במשולש ישר הזווית שיוצר הגובה לבסיס $AC$.

במשולש $ADC$: $AD = DC$, ולכן $\angle DAC = \angle DCA = \alpha$

הזווית $ADB$ חיצונית למשולש $ADC$: $\angle ADB = \alpha + \alpha = 2\alpha$

במשולש $ABD$: $\angle ADB = \angle ABD = 2\alpha$, ולכן $AB = AD$ (מול זוויות שוות צלעות שוות)

במשולש שווה השוקיים $ADC$ הגובה $DN$ לבסיס $AC$ חוצה אותו: $CN = \dfrac{m}{2}$

במשולש ישר הזווית $DNC$: $\cos\alpha = \dfrac{CN}{DC} = \dfrac{m}{2 \cdot DC} \quad\Rightarrow\quad DC = \dfrac{m}{2\cos\alpha}$

מכאן: $AB = AD = DC = \dfrac{m}{2\cos\alpha}$

הסרטוט עם מה שמצאנו (שלושת הקטעים המסומנים שווים):

הכלל: במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס חוצה אותו, ובמשולש ישר הזווית שנוצר הקוסינוס של זווית הבסיס הוא היחס בין חצי הבסיס לשוק.

במשולש שווה השוקיים $ABD$ הגובה $AH$ לבסיס $BD$ חוצה אותו: $BH = \dfrac{BD}{2}$

במשולש ישר הזווית $AHB$, עם $\angle ABH = 2\alpha$:

$\cos(2\alpha) = \dfrac{BH}{AB} \quad\Rightarrow\quad BH = AB \cdot \cos(2\alpha)$

מציבים את $AB$ מסעיף א: $BH = \dfrac{m\cos(2\alpha)}{2\cos\alpha}$

הבסיס כולו: $BD = 2 \cdot BH = \dfrac{m\cos(2\alpha)}{\cos\alpha}$

הסרטוט:

הכלל: מציבים בתנאי הנתון את שני הביטויים מסעיפים א, ב, מצמצמים את הגורם המשותף, ופותרים משוואה טריגונומטרית בתחום של $\alpha$.

מציבים: $\dfrac{m\cos(2\alpha)}{\cos\alpha} = \sqrt3 \cdot \dfrac{m}{2\cos\alpha}$

כופלים בגורם $\dfrac{\cos\alpha}{m}$ (שונה מאפס): $\cos(2\alpha) = \dfrac{\sqrt3}{2}$

בתחום $0^{\circ} < 2\alpha < 90^{\circ}$: $2\alpha = 30^{\circ} \quad\Rightarrow\quad \alpha = 15^{\circ}$

זוויות המשולש: $\angle ACB = 15^{\circ}, \quad \angle ABC = 30^{\circ}, \quad \angle BAC = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$

הכלל: משפט הסינוסים המורחב $\dfrac{AC}{\sin B} = 2R$ נותן את $m$, ואת שטח המשולש $ABD$ מחשבים בנוסחה $S = \dfrac12 \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)$.

משפט הסינוסים המורחב: $\dfrac{m}{\sin 30^{\circ}} = 2 \cdot 6 \quad\Rightarrow\quad m = 12 \cdot \dfrac12 = 6$

מסעיף א: $AB = AD = \dfrac{6}{2\cos 15^{\circ}} = \dfrac{3}{\cos 15^{\circ}} \approx 3.106$

הזווית בקודקוד $A$ במשולש $ABD$: $\angle BAD = 180^{\circ} - 2\alpha - 2\alpha = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$

נוסחת השטח: $S_{ABD} = \dfrac12 \cdot AB \cdot AD \cdot \sin 120^{\circ} = \dfrac12 \cdot \dfrac{9}{\cos^2 15^{\circ}} \cdot \dfrac{\sqrt3}{2}$

מחשבים במחשבון: $S_{ABD} \approx \dfrac12 \cdot 9.646 \cdot 0.866 \approx 4.18$

הסרטוט עם הנתונים שמצאנו: