מתכונת א

הכלל: מציבים $\pi - x$ במקום $x$ ומשתמשים בנוסחאות הזווית המשלימה מדף הנוסחאות. שתי נקודות שסכומן $\pi$ נמצאות משני צדי הישר $x = \dfrac{\pi}{2}$ ובמרחק שווה ממנו. נקודות החיתוך עם ציר $x$ הן הנקודות שבהן אחד מגורמי המכפלה מתאפס.

(1) מציבים $\pi - x$: $f(\pi - x) = \sin(\pi - x) \cdot \cos^2(\pi - x)$

מדף הנוסחאות $\sin(\pi - x) = \sin(x)$ וגם $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$, ולכן:

$f(\pi - x) = \sin(x) \cdot \left(-\cos(x)\right)^2 = \sin(x) \cdot \cos^2(x) = f(x)$ מש״ל

המשמעות: לנקודות $x$ ו $\pi - x$, שנמצאות משני צדי הישר $x = \dfrac{\pi}{2}$ ובמרחק שווה ממנו, יש אותו ערך. לכן הגרף סימטרי ביחס לישר $x = \dfrac{\pi}{2}$.

(2) הגורם הראשון: $\sin(x) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0, \quad x = \pi$

הגורם השני: $\cos^2(x) = 0 \quad\Rightarrow\quad \cos(x) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{\pi}{2}$

הכלל: כלל המכפלה $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, ונגזרת של חזקה היא כפול הנגזרת הפנימית. נקודות קיצון פנימיות הן נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן, וסוגן נקרא מטבלת סימנים; בתחום סגור גם נקודות הקצה הן נקודות קיצון.

כלל המכפלה: $f'(x) = \cos(x) \cdot \cos^2(x) + \sin(x) \cdot 2\cos(x) \cdot \left(-\sin(x)\right) = \cos^3(x) - 2\sin^2(x)\cos(x)$

גורם משותף: $f'(x) = \cos(x) \cdot \left(\cos^2(x) - 2\sin^2(x)\right)$

זהות היסוד (סכום ריבועי הסינוס והקוסינוס של אותה זווית הוא $1$): $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$

מציבים בסוגריים: $\cos^2(x) - 2 + 2\cos^2(x) = 3\cos^2(x) - 2$, וזו הנגזרת הנדרשת. מש״ל

הגורם הראשון מתאפס: $\cos(x) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{\pi}{2}$

הגורם השני מתאפס: $\cos^2(x) = \dfrac23 \quad\Rightarrow\quad \cos(x) = \pm\sqrt{\dfrac23}$

במחשבון: $x = \cos^{-1}\left(\sqrt{\dfrac23}\right) \approx 0.62, \quad x = \cos^{-1}\left(-\sqrt{\dfrac23}\right) \approx 2.53$

טבלת הסימנים:

בנקודות המקסימום $\cos^2(x) = \dfrac23$, ולכן: $\sin^2(x) = 1 - \dfrac23 = \dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \sin(x) = \dfrac{1}{\sqrt3}$ (בתחום $\sin(x) > 0$)

ערך המקסימום: $f = \dfrac{1}{\sqrt3} \cdot \dfrac23 = \dfrac{2}{3\sqrt3} = \dfrac{2\sqrt3}{9} \approx 0.38$

שתי נקודות המקסימום (סימטריות ביחס לישר $x = \dfrac{\pi}{2}$, סעיף א): $(0.62, \, 0.38)$ ו $(2.53, \, 0.38)$

נקודת המינימום הפנימית: $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1 \cdot 0 = 0$

נקודות הקצה: $f(0) = f(\pi) = 0$. הפונקציה עולה מימין ל $x = 0$ ויורדת אל $x = \pi$, ולכן $(0, \, 0)$ ו $(\pi, \, 0)$ הן נקודות מינימום קצה.

הסקיצה:

הכלל: מספר הפתרונות של המשוואה $f(x) = k$ הוא מספר נקודות החיתוך של הישר האופקי $y = k$ עם הגרף. סופרים אותן בכל קטע מונוטוני לפי טווח הערכים שלו.

מסעיף ב, הגרף בנוי מארבעה קטעים מונוטוניים: עולה מ $0$ עד $\dfrac{2\sqrt3}{9}$, יורד עד $0$, עולה שוב עד $\dfrac{2\sqrt3}{9}$ ויורד שוב עד $0$.

כאשר $k < 0$ או $k > \dfrac{2\sqrt3}{9}$: אין פתרונות.

כאשר $0 < k < \dfrac{2\sqrt3}{9}$: פתרון אחד בכל אחד מארבעת הקטעים, כלומר ארבעה פתרונות.

כאשר $k = 0$: שלושה פתרונות, $x = 0$, $x = \dfrac{\pi}{2}$, $x = \pi$ (סעיף א).

כאשר $k = \dfrac{2\sqrt3}{9}$: הישר נוגע בגרף רק בשתי נקודות המקסימום, $x \approx 0.62$ ו $x \approx 2.53$. בדיוק שני פתרונות.

הכלל: נקודות משותפות הן פתרונות של $g(x) = f(x)$. השטח בין שני גרפים הוא האינטגרל של "עליון פחות תחתון" בין נקודות החיתוך; את $\sin(x)\cos^2(x)$ מבצעים אינטגרציה כנגזרת פנימית כפול חזקה.

(1) ההפרש: $g(x) - f(x) = m\sin(x) - \sin(x)\cos^2(x) = \sin(x) \cdot \left(m - \cos^2(x)\right)$

תמיד $\cos^2(x) \le 1 < m$, ולכן הגורם $m - \cos^2(x)$ חיובי ואינו מתאפס.

נשאר $\sin(x) = 0$, ובתחום: $x = 0, \quad x = \pi$. הנקודות המשותפות: $(0, \, 0)$ ו $(\pi, \, 0)$.

(2) בתחום $\sin(x) \ge 0$, ולכן $g(x) - f(x) \ge 0$ והגרף של $g$ מעל הגרף של $f$:

$S = \displaystyle\int_0^{\pi} \left(m\sin(x) - \sin(x)\cos^2(x)\right) dx$

פונקציה קדומה: $\left[-m\cos(x) + \dfrac{\cos^3(x)}{3}\right]_0^{\pi}$

הצבת הגבול העליון: $-m \cdot (-1) + \dfrac{(-1)^3}{3} = m - \dfrac13$

הצבת הגבול התחתון: $-m \cdot 1 + \dfrac{1^3}{3} = -m + \dfrac13$

מחסירים: $S = m - \dfrac13 - \left(-m + \dfrac13\right) = 2m - \dfrac23$

משווים לנתון: $2m - \dfrac23 = \dfrac{10}{3} \quad\Rightarrow\quad 2m = 4 \quad\Rightarrow\quad m = 2$

השטח המבוקש, כאשר $m = 2$ (הגרף העליון הוא $g$, והתחתון הוא $f$):