מתכונת א

הכלל: סדרה הנדסית אין-סופית מתכנסת כאשר $-1 < q < 1$, וסכומה $S = \dfrac{a_1}{1 - q}$. כאן המנה היא ביטוי בפרמטר, ולכן תנאי ההתכנסות הוא אי שוויון ב $k$.

(1) תנאי ההתכנסות: $-1 < k - 1 < 1$

מוסיפים $1$ לכל האגפים: $0 < k < 2$

מהנתונים $k \neq 1$ (אחרת המנה היא $0$). לכן הסדרה מתכנסת בתחום:

$0 < k < 2, \quad k \neq 1$

(2) נוסחת הסכום: $S = \dfrac{a_1}{1 - q} = \dfrac{k}{1 - (k - 1)}$

מפשטים את המכנה: $S = \dfrac{k}{2 - k}$

הכלל: סדרה היא הנדסית כאשר המנה בין כל שני איברים עוקבים קבועה. את שני הסכומים מחשבים בנוסחה $S = \dfrac{a_1}{1 - q}$, ומפרקים את המכנה כהפרש ריבועים.

(1) המנה בין שני איברים עוקבים: $\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{(a_{n+1})^2}{(a_n)^2} = \left(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right)^2 = q^2$

המנה קבועה, ולכן $b_n$ היא סדרה הנדסית, ומנתה $(k-1)^2$. האיבר הראשון שלה: $b_1 = k^2$

(2) בתחום של סעיף א המנה $k - 1$ שונה מאפס ונמצאת בין $-1$ ל $1$, ולכן:

$0 < (k-1)^2 < 1$

כלומר גם הסדרה $b_n$ מתכנסת.

סכום הסדרה $b_n$: $S_b = \dfrac{k^2}{1 - (k-1)^2}$

הפרש ריבועים במכנה: $1 - (k-1)^2 = \left(1 - (k-1)\right)\left(1 + (k-1)\right) = (2 - k) \cdot k$

מצמצמים ($k \neq 0$): $S_b = \dfrac{k^2}{(2 - k) \cdot k} = \dfrac{k}{2 - k}$

זה בדיוק הסכום של $a_n$ מסעיף א, בכל ערך של $k$ בתחום. מש״ל

הכלל: האיברים מהאיבר השלישי והלאה הם סדרה הנדסית אין-סופית שאיברה הראשון $a_3 = a_1 q^2$ ומנתה $q$, וסכומה בנוסחה $S = \dfrac{a_1}{1 - q}$. משווים לנתון, פותרים משוואה ריבועית ב $q$ ופוסלים פתרון שמחוץ לתחום ההתכנסות.

סכום האיברים מהאיבר השלישי והלאה: $\dfrac{a_3}{1 - q} = \dfrac{a_1 q^2}{1 - q}$

משווים לנתון: $\dfrac{a_1 q^2}{1 - q} = \dfrac43 a_1$

מצמצמים ב $a_1 \neq 0$ ומכפילים ב $3(1 - q)$: $3q^2 = 4 - 4q$

מסדרים: $3q^2 + 4q - 4 = 0$

נוסחת השורשים: $q = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} = \dfrac{-4 \pm 8}{6}$

הפתרון $q = -2$ נפסל, כי הסדרה מתכנסת ולכן $-1 < q < 1$. נשאר: $q = \dfrac23$

מכאן: $k = q + 1 = \dfrac23 + 1 = \dfrac53$

בדיקה: $0 < \dfrac53 < 2$, כלומר הערך בתחום של סעיף א.

הכלל: סדרה שאיבריה הם הפרש של איברי שתי סדרות הנדסיות מתכנסות אינה בהכרח הנדסית, אבל סכומה הוא הפרש שני הסכומים. סכום האיברים החיוביים הוא סכום כל האיברים פחות סכום האיברים השליליים.

עם $k = \dfrac53$ המנה היא $q = \dfrac23$, והאיבר הכללי: $a_n = \dfrac53 \cdot \left(\dfrac23\right)^{n-1}$

שלושת האיברים הראשונים: $a_1 = \dfrac53, \quad a_2 = \dfrac{10}{9}, \quad a_3 = \dfrac{20}{27}$

המנה הראשונה: $\dfrac{c_2}{c_1} = -\dfrac{10}{81} \cdot \left(-\dfrac{9}{10}\right) = \dfrac19$

המנה השנייה: $\dfrac{c_3}{c_2} = \dfrac{140}{729} \cdot \left(-\dfrac{81}{10}\right) = -\dfrac{14}{9}$

המנות שונות, ולכן הסדרה $c_n$ אינה הנדסית.

(2) כותבים $c_n = a_n - a_n^2 = a_n(1 - a_n)$. כל איברי $a_n$ חיוביים, ולכן $c_n < 0$ בדיוק כאשר $a_n > 1$.

הסדרה $a_n$ יורדת (איבר ראשון חיובי ומנה $\dfrac23$), ומתקיים $a_2 = \dfrac{10}{9} > 1 > \dfrac{20}{27} = a_3$. לכן רק $c_1$, $c_2$ שליליים, וכל שאר האיברים חיוביים.

סכום כל איברי $c_n$ הוא הפרש שני הסכומים, ולפי סעיף ב הם שווים:

$c_1 + c_2 + c_3 + \ldots = S_a - S_b = 0$

סכום שני האיברים השליליים: $c_1 + c_2 = -\dfrac{10}{9} - \dfrac{10}{81} = -\dfrac{90 + 10}{81} = -\dfrac{100}{81}$

סכום האיברים החיוביים: $0 - \left(-\dfrac{100}{81}\right) = \dfrac{100}{81} \approx 1.235$