מתכונת א

הכלל: מרכז המעגל נמצא על האנך האמצעי של כל מיתר, והרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק. מנקודה לישר יש אנך אחד בלבד, ולכן שני הישרים האלה מתלכדים.

הרדיוסים שווים: $OA = OB$, ולכן $O$ נמצא על האנך האמצעי של המיתר $AB$. נסמן את אמצע $AB$ באות $M$.

בריבוע $AB \parallel CD$, ולכן האנך האמצעי של $AB$ מאונך גם לצלע $CD$. נסמן את נקודת החיתוך שלו עם $CD$ באות $N$.

במרובע $AMND$ שלוש זוויות ישרות (בקודקודים $A$, $D$, $M$), ולכן הוא מלבן:

$DN = AM = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{CD}{2}$

כלומר $N$ היא אמצע הצלע $CD$, והישר $MN$ עובר דרך $O$ ומאונך לצלע $CD$.

הרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק: $OE \perp CD$

מהנקודה $O$ יש לישר $CD$ אנך אחד בלבד, ולכן $E = N$. הנקודה $E$ היא אמצע הצלע $CD$. מש״ל

הכלל: הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר; יחד עם זווית ישרה משותפת זה דמיון ז.ז. מיחס הצלעות המתאימות, ועם $E$ אמצע $CD$ מסעיף א, מקבלים את $DF$.

הסרטוט, עם שני המשולשים:

בשני המשולשים $DFE$, $DEA$:

$\angle FDE = \angle EDA = 90^{\circ}$ (זווית הריבוע)

$\angle DEF = \angle EAF$ (זווית בין המשיק $DE$ למיתר $EF$ שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר $EF$)

הנקודה $F$ על הצלע $AD$, ולכן: $\angle EAF = \angle EAD$

לפי משפט הדמיון ז.ז: $\triangle DFE \sim \triangle DEA$, בהתאמה $D \leftrightarrow D$, $F \leftrightarrow E$, $E \leftrightarrow A$.

יחס הצלעות המתאימות: $\dfrac{DF}{DE} = \dfrac{DE}{DA} \quad\Rightarrow\quad DF = \dfrac{DE^2}{DA}$

מסעיף א: $DE = \dfrac12 CD = \dfrac12 DA$

מציבים: $DF = \dfrac{\left(\frac12 DA\right)^2}{DA} = \dfrac{\frac14 DA^2}{DA} = \dfrac14 DA$ מש״ל

הכלל: זווית היקפית של $90^{\circ}$ נשענת על קוטר. הזווית $FAB$ היא זווית ישרה של הריבוע, ולכן $FB$ קוטר, ואת אורכו מחשבים במשפט פיתגורס.

מסעיף ב: $DF = \dfrac14 \cdot 8 = 2$

מכאן: $AF = AD - DF = 8 - 2 = 6$

הזווית ההיקפית $FAB$ ישרה (זווית הריבוע), ולכן המיתר $FB$ הוא קוטר במעגל.

משפט פיתגורס במשולש $FAB$: $FB = \sqrt{AF^2 + AB^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

הרדיוס הוא מחצית הקוטר: $r = \dfrac{10}{2} = 5$

הסרטוט עם האורכים שמצאנו (המרכז $O$ הוא אמצע הקוטר $FB$):

הכלל: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה, ולכן המשולש $FEB$ ישר זווית בקודקוד $E$ ושטחו חצי מכפלת הניצבים. את הניצבים מחשבים במשפט פיתגורס בשני המשולשים הצמודים לצלע $CD$.

שטח המשולש $DFE$ (ישר זווית בקודקוד $D$): $S = \dfrac{DF \cdot DE}{2} = \dfrac{2 \cdot 4}{2} = 4$

משפט פיתגורס במשולש $FDE$: $FE = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt5$

משפט פיתגורס במשולש $ECB$: $EB = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt5$

המיתר $FB$ קוטר (סעיף ג), ולכן הזווית ההיקפית הנשענת עליו ישרה: $\angle FEB = 90^{\circ}$

שטח המשולש $FEB$: $S_{FEB} = \dfrac{FE \cdot EB}{2} = \dfrac{2\sqrt5 \cdot 4\sqrt5}{2} = \dfrac{40}{2} = 20$

היחס בין השטחים: $\dfrac{S_{FEB}}{S} = \dfrac{20}{4} = 5$

הסרטוט עם הנתונים שמצאנו: