מתכונת א

הכלל: פונקציה רציונלית מוגדרת בכל נקודה שבה המכנה אינו מתאפס. כשהמונה והמכנה מאותה מעלה, האסימפטוטה האופקית היא היחס בין המקדמים של החזקה הגבוהה. נקודת חיתוך עם האסימפטוטה היא נקודה שבה $f(x)$ שווה לגובה האסימפטוטה.

(1) לכל $x$: $x^2 + 1 \ge 1 > 0$, ולכן המכנה אינו מתאפס והפונקציה מוגדרת לכל $x$.

פותחים את המונה: $f(x) = \dfrac{x^2 + 2ax + a^2}{x^2 + 1}$

המונה והמכנה ממעלה שנייה, והמקדם של $x^2$ בשניהם הוא $1$. לכן האסימפטוטה האופקית:

$y = 1$

(2) משווים לגובה האסימפטוטה: $\dfrac{x^2 + 2ax + a^2}{x^2 + 1} = 1$

כופלים במכנה: $x^2 + 2ax + a^2 = x^2 + 1$

מבטלים את $x^2$: $2ax = 1 - a^2 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{1 - a^2}{2a}$

הכלל: נגזרת מנה $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$. נקודות הקיצון הן הנקודות שבהן הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן, וסוגן נקרא מטבלת סימנים.

כלל המנה, עם $u = (x+a)^2$ ועם $v = x^2 + 1$:

$f'(x) = \dfrac{2(x+a) \cdot (x^2 + 1) - (x+a)^2 \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}$

גורם משותף $2(x + a)$ במונה: $f'(x) = \dfrac{2(x+a) \cdot \left[(x^2 + 1) - x(x + a)\right]}{(x^2 + 1)^2}$

בתוך הסוגריים המרובעים: $x^2 + 1 - x^2 - ax = 1 - ax$, ולכן מתקבלת הנגזרת הנדרשת. מש״ל

הנגזרת מתאפסת כאשר אחד הגורמים במונה מתאפס. הגורם הראשון: $x + a = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -a$

הגורם השני: $1 - ax = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac1a$

המכנה חיובי, והגורם $1 - ax$ יורד (כי $a > 0$). טבלת הסימנים:

נקודת המינימום: $f(-a) = \dfrac{0^2}{a^2 + 1} = 0$

נקודת המקסימום, המונה: $\left(\dfrac1a + a\right)^2 = \left(\dfrac{1 + a^2}{a}\right)^2 = \dfrac{(1 + a^2)^2}{a^2}$

המכנה: $\dfrac{1}{a^2} + 1 = \dfrac{1 + a^2}{a^2}$

מחלקים: $f\left(\dfrac1a\right) = \dfrac{(1 + a^2)^2}{a^2} \cdot \dfrac{a^2}{1 + a^2} = 1 + a^2$

הכלל: מציבים את הנתון בביטוי לנקודת החיתוך עם האסימפטוטה מסעיף א, פותרים משוואה ריבועית ב $a$, ופוסלים פתרון שאינו מקיים את התנאי $a > 0$.

מסעיף א: $\dfrac{1 - a^2}{2a} = -\dfrac34$

כופלים ב $4a$: $2(1 - a^2) = -3a$

מסדרים: $2a^2 - 3a - 2 = 0$

נוסחת השורשים: $a = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \dfrac{3 \pm 5}{4}$

הפתרון $a = -\dfrac12$ נפסל, כי $a$ חיובי. נשאר: $a = 2$

הכלל: מספר הפתרונות של המשוואה $f(x) = k$ הוא מספר נקודות החיתוך של הישר $y = k$ עם הגרף. סופרים לפי טווח הערכים של כל תחום עלייה או ירידה, ובודקים מאיזה צד הגרף מתקרב לאסימפטוטה.

עם $a = 2$, מסעיפים א–ב: מינימום $(-2, \, 0)$, מקסימום $\left(\dfrac12, \, 5\right)$, אסימפטוטה אופקית $y = 1$.

ההפרש מהאסימפטוטה: $f(x) - 1 = \dfrac{x^2 + 4x + 4 - x^2 - 1}{x^2 + 1} = \dfrac{4x + 3}{x^2 + 1}$

כאשר $x < -\dfrac34$ ההפרש שלילי (הגרף מתחת לאסימפטוטה), וכאשר $x > -\dfrac34$ הוא חיובי (הגרף מעליה).

הסקיצה:

תחום I, $x < -2$, יורד: הערכים מתקרבים ל $1$ מלמטה ויורדים עד $0$, כלומר הטווח הוא $0 < y < 1$, וגם $f(-2) = 0$.

תחום II, $-2 \le x \le \dfrac12$, עולה: כל הערכים $0 \le y \le 5$, כל אחד פעם אחת.

תחום III, $x > \dfrac12$, יורד: הערכים יורדים מ $5$ ומתקרבים ל $1$ מלמעלה, כלומר הטווח הוא $1 < y \le 5$.

כאשר $0 < k < 1$ יש שני פתרונות (בתחומים I, II), וכאשר $1 < k < 5$ יש שני פתרונות (בתחומים II, III).

כאשר $k < 0$ או $k > 5$ אין פתרונות. פתרון אחד בדיוק מתקבל רק בשלושה ערכים:

$k = 0, \quad k = 1, \quad k = 5$

הכלל: שטח מתחת לגרף חיובי הוא האינטגרל המסוים, והפונקציה $f$ היא פונקציה קדומה של $f'$, ולכן $\displaystyle\int_p^r f'(x) \, dx = f(r) - f(p)$.

מטבלת הסימנים בסעיף ב: $f'(x) > 0$ בתחום $-2 < x < \dfrac12$, והיא מתאפסת ב $x = -2$ וב $x = \dfrac12$. מחוץ לתחום הזה $f' < 0$ ואינה חוזרת לציר $x$, ולכן התחום המוגבל הוא $-2 \le x \le \dfrac12$.

ערך הפונקציה בציר $y$: $f(0) = \dfrac{(0 + 2)^2}{0 + 1} = 4$

החלק השמאלי: $S_1 = \displaystyle\int_{-2}^{0} f'(x) \, dx = f(0) - f(-2) = 4 - 0 = 4$

החלק הימני: $S_2 = \displaystyle\int_{0}^{\frac12} f'(x) \, dx = f\left(\dfrac12\right) - f(0) = 5 - 4 = 1$

היחס: $\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac41 = 4$

השטח מתחת לגרף הנגזרת, וציר $y$ שמחלק אותו: