מתכונת א

הכלל: נתון היפוך של תנאי (מתוצאה חיובית אל המחלה), ולכן בייס $P(A \mid D) = \dfrac{P(A \cap D)}{P(D)}$, כאשר $A$ מסמן חולה ו $D$ מסמן תוצאה חיובית; את המכנה בונים בנוסחת ההסתברות השלמה.

רושמים את הנתונים: $P(A) = p$, $P(D \mid A) = 0.9$, וההסתברות לתוצאה חיובית אצל בריא היא $1 - 0.8 = 0.2$. זה העץ, עם שני מסלולי התוצאה החיובית מסומנים:

המונה, חולה שקיבל תוצאה חיובית: $P(A \cap D) = 0.9p$.

המכנה, כלל התוצאות החיוביות: $P(D) = 0.9p + 0.2(1-p) = 0.2 + 0.7p$.

מציבים את הנתון ומקבלים משוואה: $\dfrac{0.9p}{0.2 + 0.7p} = 0.5$.

מכפילים במכנה: $0.9p = 0.1 + 0.35p$.

מעבירים אגפים: $0.55p = 0.1$.

מחלקים: $p = \dfrac{0.1}{0.55} = \dfrac{2}{11} \approx 0.1818$.

הכלל: "שגויה" מכסה שני מסלולים זרים בעץ, חולה שקיבל תוצאה שלילית ובריא שקיבל תוצאה חיובית, ולכן מחשבים כל מסלול בנפרד ומחברים.

שיעור החולים מסעיף א: $P(A) = \dfrac{2}{11}$.

שיעור הבריאים: $1 - \dfrac{2}{11} = \dfrac{9}{11}$.

מסלול ראשון, חולה עם תוצאה שלילית: $\dfrac{2}{11} \cdot 0.1 = \dfrac{0.2}{11}$.

מסלול שני, בריא עם תוצאה חיובית: $\dfrac{9}{11} \cdot 0.2 = \dfrac{1.8}{11}$.

מחברים: $\dfrac{0.2}{11} + \dfrac{1.8}{11} = \dfrac{2}{11} \approx 0.1818$.

שימו לב שהתוצאה יצאה במקרה שווה לשיעור החולים; אין קשר בין שני הגדלים.

הכלל: כל 6 הנבחרים כבר קיבלו תוצאה חיובית, ולכן ההסתברות שכל אחד מהם חולה היא $0.5$ מהנתון, וברנולי $P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$; "לפחות 4" הוא הסכום של $k = 4$, $k = 5$, $k = 6$.

מזהים את הנתונים: $n = 6$, $p = 0.5$, $1 - p = 0.5$.

מכיוון ש $p = 1 - p$, כל מחובר מקבל את אותו גורם: $0.5^6 = \dfrac{1}{64}$.

המקדם עבור $k = 4$: $\binom{6}{4} = 15$.

המקדם עבור $k = 5$: $\binom{6}{5} = 6$.

המקדם עבור $k = 6$: $\binom{6}{6} = 1$.

מחברים את המקדמים: $15 + 6 + 1 = 22$.

מציבים ומצמצמים: $\dfrac{22}{64} = \dfrac{11}{32} \approx 0.3438$.

הכלל: התוצאה של שתי הבדיקות היא תנאי, ולכן בייס: מחשבים את ההסתברות למאורע "חיובית אחת ושלילית אחת" בכל אחד משני הענפים, ומחלקים את הענף המבוקש בסכום שניהם.

בענף בריא, שני סדרים אפשריים (חיובית ואז שלילית, או להפך): $2 \cdot 0.2 \cdot 0.8 = 0.32$.

בענף חולה, אותם שני סדרים: $2 \cdot 0.9 \cdot 0.1 = 0.18$.

מכפילים בהסתברות הענף, בריא: $\dfrac{9}{11} \cdot 0.32 = \dfrac{2.88}{11}$.

מכפילים בהסתברות הענף, חולה: $\dfrac{2}{11} \cdot 0.18 = \dfrac{0.36}{11}$.

מחברים לקבלת המכנה: $\dfrac{2.88}{11} + \dfrac{0.36}{11} = \dfrac{3.24}{11}$.

מחלקים ומצמצמים: $\dfrac{2.88}{3.24} = \dfrac{288}{324} = \dfrac{8}{9} \approx 0.8889$.