מתכונת א

הכלל: הוכחה באינדוקציה בשלושה שלבים: בדיקה עבור $n=1$, הנחה עבור $n=k$, והוכחה עבור $n=k+1$. סכום שאינו מתחיל באיבר הראשון מתקבל כהפרש של שני סכומים מהשוויון.

בדיקה עבור $n=1$. האגף השמאלי: $\dfrac{1}{1\cdot2\cdot3} = \dfrac16$

האגף הימני: $\dfrac{1\cdot4}{4\cdot2\cdot3} = \dfrac{4}{24} = \dfrac16$. שני האגפים שווים.

הנחה: נניח שעבור $n=k$ מתקיים:

צריך להוכיח עבור $n=k+1$:

הוכחה: מציבים את ההנחה ומוסיפים את האיבר החדש:

מביאים למכנה משותף:

פותחים את המונה: $k(k+3)^2+4 = k(k^2+6k+9)+4 = k^3+6k^2+9k+4$

כופלים את המונה ואת המכנה של אגף המטרה בגורם $(k+1)$:

פותחים את המונה של אגף המטרה: $(k+1)^2(k+4) = (k^2+2k+1)(k+4) = k^3+6k^2+9k+4$

המונים והמכנים שווים, ולכן הטענה נכונה עבור $n=k+1$. לפי עקרון האינדוקציה היא נכונה לכל $n$ טבעי. מש״ל

החישוב. הסכום מתחיל באיבר העשירי ומסתיים באיבר העשרים, ולכן הוא הסכום עד האיבר העשרים פחות הסכום עד האיבר התשיעי:

מצמצמים כל שבר: $S = \dfrac{460}{1848} - \dfrac{108}{440} = \dfrac{115}{462} - \dfrac{27}{110}$

מכנה משותף: $S = \dfrac{575}{2310} - \dfrac{567}{2310} = \dfrac{8}{2310} = \dfrac{4}{1155} \approx 0.00346$

הכלל: משפט חוצה הזווית נותן את חלקי הצלע $BC$; דמיון בשתי זוויות (חוצה זווית וזוויות היקפיות) נותן את המכפלה $AD \cdot AE$; ומשפט המיתרים הנחתכים במעגל נותן את המכפלה $AD \cdot DE$. משתי המכפלות מוצאים את $AD$ ואחריו את $DE$.

משפט חוצה הזווית במשולש $ABC$: $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{6}{8} = \dfrac34$

הצלע $BC = 7$ מתחלקת ביחס $3:4$, ולכן:

$BD = 3, \quad DC = 4$

בשני המשולשים $ABD$, $AEC$:

$\angle BAD = \angle EAC$ (נתון, $AE$ חוצה את הזווית $BAC$)

$\angle ABD = \angle AEC$ (זוויות היקפיות הנשענות על הקשת $AC$)

לפי משפט הדמיון ז.ז: $\triangle ABD \sim \triangle AEC$, בהתאמה $A \leftrightarrow A$, $B \leftrightarrow E$, $D \leftrightarrow C$. מש״ל

יחס הצלעות המתאימות: $\dfrac{AB}{AE} = \dfrac{AD}{AC} \quad\Rightarrow\quad AD \cdot AE = AB \cdot AC = 6 \cdot 8 = 48$

המיתרים $AE$, $BC$ נחתכים בנקודה $D$ (מכפלת קטעי מיתרים נחתכים):

$AD \cdot DE = BD \cdot DC = 3 \cdot 4 = 12$

מסמנים $AD = x$. הנקודה $D$ על המיתר $AE$, ולכן:

$AD \cdot AE = x \cdot (x + DE) = x^2 + x \cdot DE = x^2 + 12$

משווים לתוצאת הדמיון: $x^2 + 12 = 48 \quad\Rightarrow\quad x^2 = 36 \quad\Rightarrow\quad x = 6$ (אורך, ולכן חיובי)

מציבים במכפלת המיתרים: $6 \cdot DE = 12 \quad\Rightarrow\quad DE = 2$

הסרטוט עם האורכים שמצאנו:

הכלל: במאורעות בלתי תלויים $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$; מציבים בנוסחת האיחוד $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ ומקבלים משוואה ריבועית. אחר כך הסתברות מותנית, כשהעולם מצטמצם לתלמידים שעוסקים בדיוק בתחביב אחד.

מסמנים $P(B) = p$. מהנתון: $P(A) = 2p$

אי תלות: $P(A \cap B) = 2p \cdot p = 2p^2$

נוסחת האיחוד: $2p + p - 2p^2 = 0.72$

מסדרים: $2p^2 - 3p + 0.72 = 0$

נוסחת השורשים: $p = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 - 5.76}}{4} = \dfrac{3 \pm 1.8}{4}$

השורש $p = 1.2$ נפסל, כי הסתברות אינה גדולה מאחד. נשאר:

$P(B) = 0.3, \quad P(A) = 0.6$

החיתוך: $P(A \cap B) = 2 \cdot 0.3^2 = 0.18$

כדורסל בלבד: $P(A) - P(A \cap B) = 0.6 - 0.18 = 0.42$

נגינה בלבד: $P(B) - P(A \cap B) = 0.3 - 0.18 = 0.12$

בדיוק תחביב אחד: $0.42 + 0.12 = 0.54$

הסתברות מותנית: $\dfrac{0.42}{0.54} = \dfrac{42}{54} = \dfrac79 \approx 0.778$

הכלל: שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בה, ונקודת ההשקה נמצאת גם על הגרף וגם על המשיק; כך מקבלים שתי משוואות לשני הנעלמים $a$, $t$. השטח המבוקש הוא שטח המשולש שמתחת למשיק פחות השטח שמתחת לגרף.

(1) מסמנים את נקודת ההשקה $\left(t, \, \sqrt{t - a}\right)$. הנגזרת (כפול הנגזרת הפנימית, שהיא $1$):

$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x - a}}$

השיפוע בנקודת ההשקה: $\dfrac{1}{2\sqrt{t - a}} = \dfrac14 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{t - a} = 2$

המשיק עובר דרך הראשית ושיפועו $\dfrac14$, ולכן משוואתו:

$y = \dfrac14 x$

נקודת ההשקה נמצאת על המשיק: $\sqrt{t - a} = \dfrac{t}{4} \quad\Rightarrow\quad 2 = \dfrac{t}{4} \quad\Rightarrow\quad t = 8$

מציבים בשוויון $\sqrt{t - a} = 2$: $\sqrt{8 - a} = 2 \quad\Rightarrow\quad 8 - a = 4 \quad\Rightarrow\quad a = 4$

נקודת ההשקה: $f(8) = \sqrt{8 - 4} = 2$, כלומר $(8, \, 2)$

(2) הגרף $f(x) = \sqrt{x - 4}$ מתחיל בנקודה $(4, \, 0)$ על ציר $x$. התחום מוגבל מלמעלה על ידי המשיק, ומלמטה על ידי ציר $x$ (מ $0$ עד $4$) ועל ידי הגרף (מ $4$ עד $8$):

שטח המשולש שמתחת למשיק, עם הקודקודים $(0, 0)$, $(8, 0)$, $(8, 2)$: $\dfrac{8 \cdot 2}{2} = 8$

השטח שמתחת לגרף: $\displaystyle\int_4^8 (x - 4)^{\frac12} \, dx = \left[\dfrac23 (x - 4)^{\frac32}\right]_4^8 = \dfrac23 \cdot 4^{\frac32} - 0 = \dfrac23 \cdot 8 = \dfrac{16}{3}$

השטח המבוקש: $S = 8 - \dfrac{16}{3} = \dfrac{8}{3} \approx 2.67$