מתכונת ב

הכלל: נוסחת המרחק בין שתי נקודות $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$, עם הנקודה $A$ שעל הגרף והנקודה $M(a, 0)$.

הנקודה $A$ על גרף $f(x) = \sqrt{x}$, ולכן שיעוריה:

$A\left(t,\, \sqrt{t}\right)$

מציבים בנוסחת המרחק:

$AM = \sqrt{(t - a)^2 + \left(\sqrt{t} - 0\right)^2}$

מפשטים:

$AM = \sqrt{(t - a)^2 + t}$

הכלל: מינימום של פונקציה: גוזרים לפי המשתנה $t$ (הפרמטר $a$ הוא מספר קבוע), משווים את הנגזרת לאפס ובודקים בטבלת סימן. הנגזרת של שורש: $\left(\sqrt{u}\right)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$.

הביטוי שבתוך השורש ונגזרתו:

$u(t) = (t - a)^2 + t$, $u'(t) = 2(t - a) + 1 = 2t - 2a + 1$

הנגזרת:

$AM'(t) = \dfrac{2t - 2a + 1}{2\sqrt{(t - a)^2 + t}}$

הביטוי שבשורש חיובי (כי $a > 1$), ולכן המכנה חיובי, והנגזרת מתאפסת כאשר המונה מתאפס:

$2t - 2a + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad t = a - \dfrac12$

נתון $a > 1$, ולכן $t = a - \dfrac12 > 0$: הערך נמצא בתחום.

סימן הנגזרת הוא סימן המונה $2t - 2a + 1$:

האורך יורד עד $t = a - \dfrac12$ ועולה אחריו, ולכן זו נקודת מינימום בכל התחום.

מציבים, עם $t - a = -\dfrac12$:

$AM = \sqrt{\left(-\dfrac12\right)^2 + a - \dfrac12}$

האורך המינימלי:

$AM_{\min} = \sqrt{\dfrac14 + a - \dfrac12} = \sqrt{a - \dfrac14}$

הכלל: משווים את האורך המינימלי מסעיף ב לנתון ופותרים משוואה עם שורש: מעלים בריבוע (שני האגפים חיוביים). אחר כך מציבים בנוסחה של $t$ מסעיף ב.

המשוואה:

$\sqrt{a - \dfrac14} = 1.5 \quad\Rightarrow\quad a - \dfrac14 = 2.25$

מבודדים:

$a = 2.5$ (מקיים $a > 1$)

שיעור $x$ של הנקודה $A$:

$t = a - \dfrac12 = 2.5 - 0.5 = 2$

שיעור $y$:

$f(2) = \sqrt{2}$

הנקודה: $A\left(2,\, \sqrt{2}\right)$

הכלל: שני ישרים שאינם מקבילים לצירים מאונכים זה לזה כאשר מכפלת השיפועים שלהם היא $-1$. שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודת ההשקה, ושיפוע הקטע מחושב משתי נקודותיו.

הנגזרת:

$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

שיפוע המשיק בנקודה $A$:

$m_1 = f'(2) = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$

שיפוע הקטע $AM$, הנוסחה:

$m_2 = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

מציבים $A\left(2, \sqrt2\right)$ וגם $M(2.5, 0)$:

$m_2 = \dfrac{0 - \sqrt{2}}{2.5 - 2} = \dfrac{-\sqrt{2}}{0.5} = -2\sqrt{2}$

מכפלת השיפועים:

$m_1\cdot m_2 = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\cdot\left(-2\sqrt{2}\right) = -1$

המכפלה היא $-1$, ולכן הקטע $AM$ מאונך למשיק בנקודה $A$. מש״ל

בסרטוט: גרף הפונקציה, המשיק בנקודה $A$ (קו מקווקו) והקטע $AM$ המאונך לו: