מתכונת ב

הכלל: בסדרה הנדסית כל איבר שווה לאיבר שלפניו כפול המנה, $a_{k+1} = q\cdot a_k$. כל איבר בסכום $U$ בא מייד אחרי איבר בסכום $T$, ולכן אפשר לכתוב את $U$ באמצעות איברי $T$.

כל איבר במקום זוגי, באמצעות האיבר שלפניו:

$a_2 = q\cdot a_1,\quad a_4 = q\cdot a_3,\quad \ldots,\quad a_{2n} = q\cdot a_{2n-1}$

מציבים בסכום $U$:

$U = q\cdot a_1 + q\cdot a_3 + \ldots + q\cdot a_{2n-1}$

מוציאים $q$ גורם משותף:

$U = q\,(a_1 + a_3 + \ldots + a_{2n-1}) = q\cdot T$ מש״ל

הכלל: סכום כל האיברים הוא סכום האיברים שבמקומות האי־זוגיים ועוד סכום האיברים שבמקומות הזוגיים, $T + U$, ומסעיף א $U = q\cdot T$. מתרגמים את הנתון למשוואה ומבודדים את $q$.

הנתון:

$T + U = 4T$

מציבים $U = q\cdot T$ מסעיף א:

$T + q\cdot T = 4T$

כל האיברים חיוביים, ולכן $T > 0$. מחלקים באות $T$:

$1 + q = 4 \quad\Rightarrow\quad q = 3$

הכלל: סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה הנדסית $S_n = \dfrac{a_1\,(q^n - 1)}{q - 1}$. גם $n$ האיברים האחרונים הם סדרה הנדסית שמנתה $q$, ולכן כותבים את שני הסכומים באותה נוסחה ומשווים.

סכום $n$ האיברים הראשונים:

$S_n = \dfrac{a_1\,(q^n - 1)}{q - 1}$

האיבר הראשון מבין $n$ האיברים האחרונים:

$a_{n+1} = a_1\cdot q^{n}$

סכום $n$ האיברים האחרונים, $n$ איברים שמנתם $q$:

$\dfrac{a_1 q^n\,(q^n - 1)}{q - 1} = q^n\cdot S_n$

הנתון:

$q^n\cdot S_n = 729\cdot S_n \quad\Rightarrow\quad q^n = 729$

מציבים $q = 3$ מסעיף ב, וכותבים את $729$ כחזקה של $3$:

$3^n = 729 = 3^6 \quad\Rightarrow\quad n = 6$

מספר האיברים בסדרה:

$2n = 2\cdot 6 = 12$

הכלל: האיברים שבמקומות האי־זוגיים יוצרים סדרה הנדסית שאיברה הראשון $a_1$ ומנתה $q^2$ (כל איבר רחוק שני מקומות מהאיבר שלפניו). מציבים בנוסחת הסכום $S_n = \dfrac{a_1\,(q^n - 1)}{q - 1}$ את המנה שלה ואת מספר האיברים שלה.

המנה של האיברים שבמקומות האי־זוגיים:

$\dfrac{a_3}{a_1} = q^2 = 3^2 = 9$

בסדרה $12$ איברים, ולכן בסכום $T$ יש $6$ איברים:

$a_1,\ a_3,\ a_5,\ a_7,\ a_9,\ a_{11}$

מציבים בנוסחת הסכום:

$T = \dfrac{a_1\,(9^6 - 1)}{9 - 1} = \dfrac{a_1\cdot 531440}{8} = 66430\,a_1$

משווים לנתון:

$66430\,a_1 = 132860 \quad\Rightarrow\quad a_1 = 2$

הכלל: החלפת הסימן של האיברים שבמקומות הזוגיים הופכת את סכומם $U$ למינוס $U$, והאיברים שבמקומות האי־זוגיים נשארים כמו שהם. לכן הסכום החדש הוא $T - U$, ואת $U$ מבטאים באמצעות $T$ לפי סעיף א.

הסכום החדש:

$a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \ldots - a_{2n} = T - U$

מסעיף א, עם $q = 3$:

$U = 3T = 3\cdot 132860 = 398580$

הסכום:

$T - U = 132860 - 398580 = -265720$

בדיקה בדרך אחרת: הסדרה $2, -6, 18, \ldots$ היא סדרה הנדסית שמנתה $-3$, ובה $12$ איברים:

$\dfrac{2\,\left((-3)^{12} - 1\right)}{-3 - 1} = \dfrac{2\cdot 531440}{-4} = -265720$ ✓