מתכונת ב

הכלל: משולשים דומים לפי משפט זווית, זווית; ובמעגל, הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר. כאן הישר $DA$ משיק, והקטע $AC$ מיתר.

$\angle ADC = \angle BDA$ (זווית משותפת, כי $C$ על הקטע $BD$)

$\angle DAC = \angle ABC$ (זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר $AC$)

$\angle ABC = \angle DBA$ (אותה זווית, כי $D$ על המשך הקטע $BC$)

לכן $\angle DAC = \angle DBA$, ומכאן:

$\triangle DAC \sim \triangle DBA$ (זווית, זווית) מש״ל

הכלל: במשולש, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות; וזווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. מראים שבמשולש $DAE$ שתי הזוויות שליד הצלע $AE$ שוות.

מסמנים:

$\angle BAE = \angle EAC = \beta$ (חוצה זווית), וגם $\angle ABC = \gamma$

מסעיף א:

$\angle DAC = \angle ABC = \gamma$

הנקודה $C$ בין $E$ ובין $D$, ולכן הקרן $AC$ עוברת בתוך הזווית $DAE$:

$\angle DAE = \angle DAC + \angle CAE = \gamma + \beta$

הזווית $DEA$ היא זווית חיצונית למשולש $ABE$:

$\angle DEA = \angle ABE + \angle BAE = \gamma + \beta$

במשולש $DAE$ מתקיים $\angle DAE = \angle DEA$, ולכן $DA = DE$ (מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות). מש״ל

הכלל: במשולשים דומים יחסי הצלעות המתאימות שווים. מהדמיון $\triangle DAC \sim \triangle DBA$ (סעיף א), ומהשוויון $DA = DE$ (סעיף ב), מוצאים את $DA$, ממנו את $DB$, ואז את $BE$.

האורך $DE$:

$DE = DC + CE = 4 + 2 = 6$

מסעיף ב:

$DA = DE = 6$

מהדמיון (סעיף א), הצלעות המתאימות:

$\dfrac{DA}{DB} = \dfrac{DC}{DA}$

מציבים:

$\dfrac{6}{DB} = \dfrac{4}{6} \quad\Rightarrow\quad DB = \dfrac{36}{4} = 9$

האורך המבוקש:

$BE = DB - DE = 9 - 6 = 3$

בדיקה במשפט חוצה הזווית:

$\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BE}{EC} = \dfrac32$

ומהדמיון: $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{DB}{DA} = \dfrac96 = \dfrac32$ ✓

הסרטוט עם האורכים שמצאנו:

הכלל: במעגל, זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים, והזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר הזה. שני ישרים שיוצרים עם ישר שלישי זוויות מתחלפות שוות הם מקבילים.

(1) $\angle BAF = \angle FAC$ (הקטע $AF$ חוצה את הזווית $BAC$)

הזווית $\angle BAF$ היא זווית היקפית הנשענת על המיתר $BF$, והזווית $\angle FAC$ היא זווית היקפית הנשענת על המיתר $FC$. זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים, ולכן:

$FB = FC$ מש״ל

(2) מסמנים נקודה $T$ על המשיק בנקודה $F$, בצד של הנקודה $C$ (ראו סרטוט בסוף הסעיף).

מתת־סעיף (1) המשולש $FBC$ שווה שוקיים, ולכן זוויות הבסיס שלו שוות:

$\angle FBC = \angle FCB$

$\angle TFC = \angle FBC$ (זווית בין המשיק $FT$ ובין המיתר $FC$ שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר $FC$)

משני השוויונים:

$\angle TFC = \angle FCB$

אלו זוויות מתחלפות בין המשיק $FT$ ובין הישר $BC$, והחותך הוא $FC$. הזוויות המתחלפות שוות, ולכן המשיק בנקודה $F$ מקביל לישר $BC$. מש״ל

הסרטוט עם המשיק בנקודה $F$: