מתכונת ב

הכלל: ביטוי בתוך שורש ריבועי חייב להיות אי־שלילי. פונקציה היא אי־זוגית כאשר תחום ההגדרה שלה סימטרי סביב $0$ ומתקיים $f(-x) = -f(x)$. מכפלה שווה לאפס כאשר אחד הגורמים שווה לאפס.

(1) תנאי השורש:

$a - x^2 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 \le a$

הפרמטר $a$ חיובי, ולכן הפתרון הוא הקטע שבין שני הפתרונות של $x^2 = a$. תחום ההגדרה:

$-\sqrt{a} \le x \le \sqrt{a}$

(2) התחום סימטרי סביב $0$. מציבים $-x$ במקום $x$:

$f(-x) = (-x)\sqrt{a - (-x)^2} = -x\sqrt{a - x^2} = -f(x)$

לכן $f(x)$ היא פונקציה אי־זוגית. מש״ל

(3) חיתוך עם ציר $y$, מציבים $x = 0$:

$f(0) = 0\cdot\sqrt{a} = 0$

חיתוך עם ציר $x$: אחד הגורמים מתאפס. הגורם הראשון:

$x = 0$

הגורם השני:

$a - x^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \pm\sqrt{a}$

נקודות החיתוך עם הצירים:

$(0,\, 0),\quad \left(\sqrt{a},\, 0\right),\quad \left(-\sqrt{a},\, 0\right)$

הכלל: נגזרת של מכפלה $(uv)' = u'v + uv'$, ונגזרת של שורש כפול הנגזרת הפנימית, $\left(\sqrt{w}\right)' = \dfrac{w'}{2\sqrt{w}}$. אחר כך טבלת סימן: נקודת קיצון פנימית היא נקודה שבה הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן, ובתחום סגור גם נקודות הקצה הן נקודות קיצון.

רכיבי המכפלה:

$u = x,\quad u' = 1,\quad v = \sqrt{a - x^2},\quad v' = \dfrac{-2x}{2\sqrt{a - x^2}} = \dfrac{-x}{\sqrt{a - x^2}}$

מציבים בנוסחה:

$f'(x) = 1\cdot\sqrt{a - x^2} + x\cdot\dfrac{-x}{\sqrt{a - x^2}}$

מכנה משותף $\sqrt{a - x^2}$:

$f'(x) = \dfrac{(a - x^2) - x^2}{\sqrt{a - x^2}} = \dfrac{a - 2x^2}{\sqrt{a - x^2}}$

הנגזרת מוגדרת בתחום $-\sqrt{a} < x < \sqrt{a}$, והמכנה חיובי בו. הנגזרת מתאפסת כאשר המונה מתאפס:

$a - 2x^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 = \dfrac{a}{2} \quad\Rightarrow\quad x = \pm\sqrt{\dfrac{a}{2}}$

סימן הנגזרת הוא סימן המונה $a - 2x^2$:

ערך הפונקציה בנקודה $x = \sqrt{\dfrac{a}{2}}$:

$f\left(\sqrt{\dfrac{a}{2}}\right) = \sqrt{\dfrac{a}{2}}\cdot\sqrt{a - \dfrac{a}{2}} = \sqrt{\dfrac{a}{2}}\cdot\sqrt{\dfrac{a}{2}} = \dfrac{a}{2}$

הפונקציה אי־זוגית (סעיף א), ולכן:

$f\left(-\sqrt{\dfrac{a}{2}}\right) = -\dfrac{a}{2}$

נקודת מקסימום:

$\left(\sqrt{\dfrac{a}{2}},\, \dfrac{a}{2}\right)$

נקודת מינימום:

$\left(-\sqrt{\dfrac{a}{2}},\, -\dfrac{a}{2}\right)$

נקודות הקצה, מסעיף א: $f\left(\pm\sqrt{a}\right) = 0$. מהקצה $x = -\sqrt{a}$ הפונקציה מתחילה בירידה, ולכן $\left(-\sqrt{a},\, 0\right)$ היא נקודת מקסימום קצה. אל הקצה $x = \sqrt{a}$ היא מגיעה בירידה, ולכן $\left(\sqrt{a},\, 0\right)$ היא נקודת מינימום קצה.

הכלל: משווים את שיעור $y$ של נקודת המקסימום מסעיף ב לערך הנתון, ומקבלים משוואה בנעלם $a$. את הסקיצה בונים מהתחום, מנקודות החיתוך עם הצירים ומנקודות הקיצון (סעיפים א וב).

המשוואה:

$\dfrac{a}{2} = 2 \quad\Rightarrow\quad a = 4$ (חיובי, כנדרש)

הפונקציה $f(x) = x\sqrt{4 - x^2}$ בתחום $-2 \le x \le 2$. נקודות הקיצון הפנימיות, עם $\sqrt{\frac{4}{2}} = \sqrt{2}$:

$\left(\sqrt{2},\, 2\right),\quad \left(-\sqrt{2},\, -2\right)$

הסקיצה: מקסימום קצה $(-2,\, 0)$, ירידה עד המינימום, עלייה דרך ראשית הצירים עד המקסימום, וירידה עד מינימום הקצה $(2,\, 0)$. הגרף סימטרי ביחס לראשית הצירים:

הכלל: שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה, ומשוואת ישר דרך נקודה עם שיפוע היא $y - y_1 = m\,(x - x_1)$. ישר נמצא מעל גרף כאשר ההפרש בין הישר ובין הפונקציה חיובי.

(1) הנגזרת מסעיף ב, עם $a = 4$:

$f'(x) = \dfrac{4 - 2x^2}{\sqrt{4 - x^2}}$

שיפוע המשיק בראשית הצירים:

$m = f'(0) = \dfrac{4 - 0}{\sqrt{4}} = 2$

המשיק עובר בנקודה $(0,\, 0)$:

$y - 0 = 2\,(x - 0) \quad\Rightarrow\quad y = 2x$

(2) ההפרש בין המשיק ובין הפונקציה, עם גורם משותף $x$:

$2x - x\sqrt{4 - x^2} = x\left(2 - \sqrt{4 - x^2}\right)$

בתחום $0 < x \le 2$ מתקיים $4 - x^2 < 4$, ולכן:

$\sqrt{4 - x^2} < 2 \quad\Rightarrow\quad 2 - \sqrt{4 - x^2} > 0$

בתחום הזה גם $x > 0$, ולכן המכפלה חיובית:

$2x - x\sqrt{4 - x^2} > 0$

כלומר בתחום $0 < x \le 2$ המשיק $y = 2x$ נמצא מעל גרף הפונקציה. מש״ל

הכלל: שטח בין שני גרפים הוא האינטגרל של הגרף העליון פחות הגרף התחתון. לאינטגרל של $x\sqrt{4 - x^2}$ מחפשים פונקציה קדומה מהצורה $c\left(4 - x^2\right)^{\frac32}$, שהנגזרת שלה היא חזקה כפול הנגזרת הפנימית $-2x$.

המשיק והגרף נפגשים בראשית הצירים, ובתחום $0 < x \le 2$ המשיק מעל הגרף (סעיף ד):

$S = \displaystyle\int_0^2 \left(2x - x\sqrt{4 - x^2}\right)dx$

האינטגרל של המשיק:

$\displaystyle\int_0^2 2x\,dx = \big[x^2\big]_0^2 = 4$

פונקציה קדומה של $x\sqrt{4 - x^2}$, בדיקה בגזירה:

$\left(-\dfrac13\left(4 - x^2\right)^{\frac32}\right)' = -\dfrac13\cdot\dfrac32\left(4 - x^2\right)^{\frac12}\cdot(-2x) = x\sqrt{4 - x^2}$

האינטגרל של הפונקציה:

$\displaystyle\int_0^2 x\sqrt{4 - x^2}\,dx = \left[-\dfrac13\left(4 - x^2\right)^{\frac32}\right]_0^2 = 0 - \left(-\dfrac13\cdot 8\right) = \dfrac83$

השטח:

$S = 4 - \dfrac83 = \dfrac43 \approx 1.333$

הסרטוט: הגרף, המשיק $y = 2x$ (קו מקווקו) והשטח ביניהם: