מתכונת ב

הכלל: נוסחת ברנולי $P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^k (1-p)^{n-k}$: בוחרים $4$ השכרות באופן בלתי תלוי, ובכל בחירה ההסתברות לאופניים רגילים היא אותה $p$. רושמים את שני המקרים ומשווים.

בדיוק $2$ מתוך $4$:

$\binom{4}{2} p^2 (1-p)^2 = 6p^2(1-p)^2$

בדיוק $3$ מתוך $4$:

$\binom{4}{3} p^3 (1-p) = 4p^3(1-p)$

לפי הנתון:

$6p^2(1-p)^2 = 4p^3(1-p)$

מחלקים בביטוי $p^2(1-p)$, השונה מאפס כי $0 < p < 1$:

$6(1-p) = 4p$

בדיקה:

$6\cdot 0.36\cdot 0.16 = 0.3456$

$4\cdot 0.216\cdot 0.4 = 0.3456$ ✓

הכלל: נוסחת ההסתברות השלמה: ההסתברות לתייר היא סכום המסלולים בעץ שמסתיימים בתייר, וכל מסלול הוא מכפלת ההסתברויות לאורכו. הנעלם הוא ההסתברות המותנית בענף של האופניים החשמליים.

מסמנים באות $x$ את ההסתברות שהשכרה של אופניים חשמליים היא של תייר. ההסתברות לאופניים חשמליים:

$1 - 0.6 = 0.4$

העץ, שני המסלולים שמסתיימים בתייר מסומנים:

מסלול רגילים ותייר:

$0.6\cdot 0.5 = 0.3$

מסלול חשמליים ותייר:

$0.4\cdot x = 0.4x$

סכום המסלולים שווה להסתברות לתייר:

$0.3 + 0.4x = 0.42$

הכלל: הסתברות מותנית $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$: "מתברר שהיא של תייר" הוא נתון, ולכן המכנה הוא ההסתברות לתייר ולא כלל ההשכרות.

המונה, חשמליים ותייר:

$0.4\cdot 0.3 = 0.12$

המכנה, תייר (נתון):

$0.42$

מחלקים:

$\dfrac{0.12}{0.42} = \dfrac{12}{42} = \dfrac{2}{7} \approx 0.2857$

הכלל: מאורע משלים: הצוות בודק לכל היותר $3$ השכרות בדיוק כאשר אחת משלוש הבדיקות הראשונות היא של אופניים חשמליים, והמשלים הוא ששלוש הבדיקות הראשונות של אופניים רגילים. הבדיקות בלתי תלויות, ולכן מכפילים.

אצל תיירים (סעיף ג): חשמליים בהסתברות $\dfrac27$, ורגילים בהסתברות:

$1 - \dfrac27 = \dfrac57$

המשלים, שלוש הבדיקות הראשונות של אופניים רגילים:

$\left(\dfrac57\right)^3 = \dfrac{125}{343}$

ההסתברות המבוקשת:

$P = 1 - \dfrac{125}{343} = \dfrac{218}{343} \approx 0.6356$

בדיקה בדרך ישירה (עצירה בבדיקה הראשונה, השנייה או השלישית):

$\dfrac27 + \dfrac57\cdot\dfrac27 + \left(\dfrac57\right)^2\cdot\dfrac27 = \dfrac{98 + 70 + 50}{343} = \dfrac{218}{343}$ ✓

הכלל: הסתברות מותנית $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$, כאשר $A$ הוא המאורע "בדיוק 2 בדיקות" וגם $B$ הוא המאורע "לכל היותר 3 בדיקות". המאורע $A$ כלול במאורע $B$, ולכן החיתוך הוא $A$ עצמו.

בדיוק $2$ בדיקות, רגילים ואחר כך חשמליים:

$P(A) = \dfrac57\cdot\dfrac27 = \dfrac{10}{49}$

המאורע $A$ כלול במאורע $B$, ולכן:

$P(A \cap B) = P(A) = \dfrac{10}{49}$

המכנה, מסעיף ד:

$P(B) = \dfrac{218}{343}$

מחלקים:

$\dfrac{10}{49}\cdot\dfrac{343}{218} = \dfrac{70}{218} = \dfrac{35}{109} \approx 0.3211$