מתכונת ב

הכלל: אינדוקציה מתמטית: מראים שהטענה נכונה עבור $n = 1$, ומוכיחים שאם היא נכונה עבור $n = k$ אז היא נכונה גם עבור $n = k+1$. בתת־סעיף (2) מציבים את הנוסחה שהוכחה במקום הסכום, ומקבלים משוואה עבור $n$.

(1) בדיקה עבור $n = 1$, אגף שמאל: $1 \cdot 2^0 = 1$

אגף ימין: $(1-1)\cdot 2^1 + 1 = 1$ ✓

הנחה: הטענה נכונה עבור $n = k$:

צריך להוכיח עבור $n = k+1$ (המחובר החדש הוא $(k+1)\cdot 2^k$):

מחליפים את סכום $k$ המחוברים הראשונים לפי ההנחה:

גורם משותף $2^k$:

כפל חזקות עם אותו בסיס: $2k\cdot 2^k + 1 = k\cdot 2^{k+1} + 1$

זה בדיוק אגף ימין עבור $n = k+1$, כי $\big((k+1) - 1\big)\cdot 2^{k+1} + 1 = k\cdot 2^{k+1} + 1$. לכן הטענה נכונה לכל $n$ טבעי. מש״ל

(2) מציבים את הנוסחה מתת־סעיף (1):

$(n-1)\cdot 2^n + 1 = 1793 \quad\Rightarrow\quad (n-1)\cdot 2^n = 1792$

פירוק לגורמים:

$1792 = 7 \cdot 256 = 7 \cdot 2^8 = (8-1)\cdot 2^8$

השוואה לאגף שמאל $(n-1)\cdot 2^n$:

$n = 8$

הפתרון יחיד: כאשר $n$ גדל, גם $n-1$ וגם $2^n$ גדלים, ולכן המכפלה $(n-1)\cdot 2^n$ גדלה. בדיקה: $7 \cdot 2^8 + 1 = 1793$ ✓

הכלל: קטע אמצעים במשולש (קטע המחבר את אמצעי שתי צלעות) מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה. מרובע שבו זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות הוא מקבילית, ומקבילית שיש בה זווית ישרה היא מלבן.

(1) מעבירים את האלכסון $AC$. במשולש $ABC$ הקטע $KL$ הוא קטע אמצעים:

$KL \parallel AC,\quad KL = \dfrac12\, AC$

במשולש $ADC$ הקטע $NM$ הוא קטע אמצעים:

$NM \parallel AC,\quad NM = \dfrac12\, AC$

משני הזוגות:

$KL \parallel NM,\quad KL = NM$

במרובע $KLMN$ זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות, ולכן הוא מקבילית. מש״ל

(2) במשולש $BCD$ הקטע $LM$ הוא קטע אמצעים:

$LM \parallel BD,\quad LM = \dfrac12\, BD$

הצלע $KL$ מקבילה לאלכסון $AC$, הצלע $LM$ מקבילה לאלכסון $BD$, והאלכסונים מאונכים זה לזה. לכן:

$KL \perp LM$

מקבילית שיש בה זווית ישרה היא מלבן, ולכן $KLMN$ מלבן. אורכי צלעותיו:

$KL = \dfrac12\cdot 10 = 5,\quad LM = \dfrac12\cdot 6 = 3$

שטח המלבן:

$S_{KLMN} = 5\cdot 3 = 15$

נסמן באות $O$ את נקודת החיתוך של האלכסונים. הקטעים $BO$ וגם $DO$ הם הגבהים מהקודקודים $B$ וגם $D$ אל האלכסון $AC$:

$S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC} = \dfrac12\, AC\cdot BO + \dfrac12\, AC\cdot DO$

גורם משותף, עם $BO + DO = BD$:

$S_{ABCD} = \dfrac12\, AC\cdot BD = \dfrac12\cdot 10\cdot 6 = 30$

היחס בין השטחים:

$\dfrac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}} = \dfrac{15}{30} = \dfrac12$ מש״ל

הסרטוט עם האלכסונים והאורכים שמצאנו:

הכלל: פונקציית הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן בשיעורי $x$ של נקודות הקיצון של הפונקציה, והיא חיובית היכן שהפונקציה עולה ושלילית היכן שהיא יורדת. נקודת פיתול היא נקודה שבה הנגזרת השנייה מתאפסת ומחליפה סימן, והפונקציה הקדומה של $f''$ היא $f'$.

(1) לגרף III נקודות קיצון בנקודות $x = -1$ וגם $x = 1$. גרף I חותך את ציר $x$ בדיוק בנקודות האלה. הוא חיובי היכן שגרף III עולה ($x < -1$ וגם $x > 1$) ושלילי היכן שגרף III יורד, ולכן גרף I הוא הנגזרת של גרף III.

לגרף I נקודת קיצון אחת, מינימום בנקודה $x = 0$. גרף II חותך את ציר $x$ בדיוק בנקודה הזו. הוא שלילי היכן שגרף I יורד ($x < 0$) וחיובי היכן שגרף I עולה ($x > 0$), ולכן גרף II הוא הנגזרת של גרף I.

השרשרת היא: גרף III, הנגזרת שלו גרף I, והנגזרת של גרף I היא גרף II. לכן הפונקציה $f(x)$ מתוארת בגרף III, הנגזרת $f'(x)$ בגרף I, והנגזרת השנייה $f''(x)$ בגרף II.

(2) הנגזרת השנייה (גרף II) מתאפסת ומחליפה סימן רק בנקודה אחת. שיעור $x$ של נקודת הפיתול:

$x = 0$

שיעור $y$ של נקודת הפיתול הוא נקודת החיתוך של גרף III עם ציר $y$:

$f(0) = 2$

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת, נקודת המינימום של גרף I:

$m = f'(0) = -3$

משוואת ישר דרך נקודה עם שיפוע, $y - y_1 = m\,(x - x_1)$:

$y - 2 = -3\,(x - 0) \quad\Rightarrow\quad y = -3x + 2$

(3) הפונקציה הקדומה של $f''$ היא $f'$:

$\displaystyle\int_0^1 f''(x)\,dx = f'(1) - f'(0)$

מגרף I, $f'(1) = 0$ וגם $f'(0) = -3$:

$\displaystyle\int_0^1 f''(x)\,dx = 0 - (-3) = 3$

הכלל: פולינום ממעלה שלישית שמתאפס בנקודות $x_1$, $x_2$, $x_3$ הוא מהצורה $c\,(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$. שורש ריבועי מוגדר כאשר הביטוי שבתוכו אי־שלילי, והזזה של גרף ימינה או שמאלה אינה משנה את השטח שמתחתיו.

(1) הפולינום ממעלה שלישית, ושורשיו $-4$, $-1$, $3$:

$f(x) = c\,(x+4)(x+1)(x-3)$

מציבים את נקודת החיתוך עם ציר $y$, $(0, -12)$:

$c\cdot 4\cdot 1\cdot(-3) = -12 \quad\Rightarrow\quad -12c = -12 \quad\Rightarrow\quad c = 1$

הפונקציה:

$f(x) = (x+4)(x+1)(x-3)$

(2) תנאי השורש:

$f(x) \ge 0$

מהסרטוט, הגרף של $f$ נמצא מעל ציר $x$ או עליו רק בתחומים הבאים, ולכן תחום ההגדרה של $g$:

$-4 \le x \le -1$ או $x \ge 3$

(3) מפרקים את האינטגרל לשני אינטגרלים:

$\displaystyle\int_0^2 \big(3 - 2\,g(x+3)\big)\,dx = \int_0^2 3\,dx - 2\int_0^2 g(x+3)\,dx$

האינטגרל הראשון:

$\displaystyle\int_0^2 3\,dx = 3\cdot 2 = 6$

כאשר $0 \le x \le 2$, הביטוי $x + 3$ נע בין $3$ ובין $5$ (בתחום ההגדרה של $g$). הגרף של $g(x+3)$ הוא הגרף של $g(x)$ מוזז $3$ יחידות שמאלה, וההזזה אינה משנה את השטח:

$\displaystyle\int_0^2 g(x+3)\,dx = \int_3^5 g(x)\,dx = k$

מציבים:

$\displaystyle\int_0^2 \big(3 - 2\,g(x+3)\big)\,dx = 6 - 2k$