מתכונת ב

הכלל: משפט הקוסינוסים $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$: בכל אחד מהמשולשים $ABE$ וגם $ABC$ ידועות שתי צלעות והזווית שביניהן, והצלע המבוקשת נמצאת מול הזווית.

במעוין כל הצלעות שוות, ו $E$ אמצע $BC$:

$AB = BC = k, \qquad BE = \dfrac{k}{2}$

משפט הקוסינוסים במשולש $ABE$:

$AE^2 = k^2 + \dfrac{k^2}{4} - 2\cdot k\cdot\dfrac{k}{2}\cdot\cos\alpha = \dfrac{5k^2}{4} - k^2\cos\alpha$

גורם משותף:

$AE^2 = \dfrac{k^2}{4}\left(5 - 4\cos\alpha\right) \quad\Rightarrow\quad AE = \dfrac{k}{2}\sqrt{5 - 4\cos\alpha}$

משפט הקוסינוסים במשולש $ABC$:

$AC^2 = k^2 + k^2 - 2\cdot k\cdot k\cdot\cos\alpha = 2k^2 - 2k^2\cos\alpha$

הוצאת שורש:

$AC = k\sqrt{2 - 2\cos\alpha}$

הכלל: משווים את הביטוי שמצאנו בסעיף א לאורך הנתון, ומקבלים משוואה עבור $\cos\alpha$; זווית במעוין נמצאת בין $0^\circ$ ל $180^\circ$, ולכן ערך הקוסינוס קובע אותה ביחידות.

משוואה:

$\dfrac{k}{2}\sqrt{5 - 4\cos\alpha} = \dfrac{\sqrt7}{2}\cdot k$

מחלקים בביטוי $\dfrac{k}{2}$ ומעלים בריבוע:

$5 - 4\cos\alpha = 7$

מבודדים:

$-4\cos\alpha = 2 \quad\Rightarrow\quad \cos\alpha = -\dfrac12$

במחשבון, $\cos^{-1}\left(-\dfrac12\right)$:

$\alpha = 120^\circ$

הסרטוט עם הזווית שמצאנו:

הכלל: משפט הסינוסים $\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta}$ במשולש $ABE$: ידועים שני זוגות של צלע ושל הזווית שמולה, חוץ מהזווית המבוקשת.

משפט הסינוסים במשולש $ABE$:

$\dfrac{BE}{\sin\angle BAE} = \dfrac{AE}{\sin\angle ABE}$

מציבים $BE = \dfrac{k}{2}$, $AE = \dfrac{\sqrt7}{2}k$, $\angle ABE = 120^\circ$:

$\dfrac{\frac{k}{2}}{\sin\angle BAE} = \dfrac{\frac{\sqrt7}{2}k}{\sin 120^\circ}$

מבודדים:

$\sin\angle BAE = \dfrac{\frac{k}{2}\cdot\sin 120^\circ}{\frac{\sqrt7}{2}k} = \dfrac{\sin 120^\circ}{\sqrt7} = \dfrac{\sqrt3}{2\sqrt7} \approx 0.3273$

הזווית $B$ קהה, ולכן הזווית $BAE$ חדה. במחשבון:

$\angle BAE \approx 19.11^\circ$

הסרטוט עם הזווית שמצאנו:

הכלל: משולש שבסיסו צלע של מקבילית וקודקודו על הצלע הנגדית הוא מחצית משטח המקבילית (אותו בסיס ואותו גובה); את השטח של המעוין נותנת הנוסחה $S = k^2\sin\alpha$. את הזווית מוצאים במשפט הקוסינוסים, כשכל שלוש הצלעות ידועות.

שטח המעוין:

$S_{ABCD} = AB\cdot BC\cdot\sin 120^\circ = k^2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}$

שטח המשולש $AED$ (אותו בסיס $AD$ ואותו גובה כמו המעוין):

$S_{AED} = \dfrac12\cdot k^2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{\sqrt3}{4}k^2$

מציבים את הנתון:

$\dfrac{\sqrt3}{4}k^2 = 4\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad k^2 = 16 \quad\Rightarrow\quad k = 4$

הצלעות שליד $E$ (את $AE$ נותן סעיף ב, ו $E$ אמצע $BC$):

$AE = \dfrac{\sqrt7}{2}\cdot 4 = 2\sqrt7, \quad CE = 2, \quad DC = 4$

במעוין זוויות סמוכות משלימות זו את זו:

$\angle DCE = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

משפט הקוסינוסים במשולש $DCE$:

$DE^2 = 4^2 + 2^2 - 2\cdot 4\cdot 2\cdot\cos 60^\circ = 16 + 4 - 8 = 12 \quad\Rightarrow\quad DE = 2\sqrt3$

משפט הקוסינוסים במשולש $AED$, לזווית שמול הצלע $AD = 4$:

$AD^2 = AE^2 + DE^2 - 2\cdot AE\cdot DE\cdot\cos\angle AED$

מציבים:

$16 = 28 + 12 - 2\cdot 2\sqrt7\cdot 2\sqrt3\cdot\cos\angle AED = 40 - 8\sqrt{21}\cos\angle AED$

מבודדים:

$\cos\angle AED = \dfrac{24}{8\sqrt{21}} = \dfrac{3}{\sqrt{21}} \approx 0.6547$

במחשבון:

$\angle AED \approx 49.11^\circ$

הסרטוט עם הנתונים שמצאנו: