מתכונת ב

הכלל: בנקודת קיצון פנימית הנגזרת מתאפסת. גוזרים את $f$ (ברדיאנים, $(\cos(x))' = -\sin(x)$), מציבים את שיעור $x$ של הקיצון ומקבלים משוואה בפרמטר $b$.

הנגזרת:

$f'(x) = 1 - b\sin(x)$

בנקודת הקיצון הנגזרת מתאפסת:

$f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 0 \quad\Rightarrow\quad 1 - b\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 0$

מציבים $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac12$:

$1 - \dfrac{b}{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad b = 2$

בדיקה: $b = 2$ חיובי, והנגזרת $1 - 2\sin(x)$ חיובית לפני $x = \dfrac{\pi}{6}$ ושלילית אחריה, ולכן זו אכן נקודת קיצון.

הכלל: נקודות קיצון פנימיות נמצאות היכן שהנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן, ובתחום סגור גם נקודות הקצה הן נקודות קיצון. את הסוג קובעים בטבלת סימן של $f'(x)$.

הנגזרת מתאפסת:

$1 - 2\sin(x) = 0 \quad\Rightarrow\quad \sin(x) = \dfrac12$

בתחום $0 \le x \le 2\pi$:

$x = \dfrac{\pi}{6}$ או $x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$

בין $\frac{\pi}{6}$ ובין $\frac{5\pi}{6}$ מתקיים $\sin(x) > \frac12$, ובשאר התחום $\sin(x) < \frac12$. סימן הנגזרת:

ערך הפונקציה בנקודה $x = \dfrac{\pi}{6}$:

$f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\pi}{6} + 2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{\pi}{6} + \sqrt3 \approx 2.26$

ערך הפונקציה בנקודה $x = \dfrac{5\pi}{6}$:

$f\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \dfrac{5\pi}{6} + 2\cdot\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right) = \dfrac{5\pi}{6} - \sqrt3 \approx 0.89$

ערך הפונקציה בקצה $x = 0$:

$f(0) = 0 + 2\cos(0) = 2$

ערך הפונקציה בקצה $x = 2\pi$:

$f(2\pi) = 2\pi + 2\cos(2\pi) = 2\pi + 2 \approx 8.28$

נקודת מקסימום:

$\left(\dfrac{\pi}{6},\, \dfrac{\pi}{6} + \sqrt3\right)$

נקודת מינימום:

$\left(\dfrac{5\pi}{6},\, \dfrac{5\pi}{6} - \sqrt3\right)$

בקצה $x = 0$ הפונקציה מתחילה בעלייה, ולכן $(0,\, 2)$ היא נקודת מינימום קצה. אל הקצה $x = 2\pi$ היא מגיעה בעלייה, ולכן $(2\pi,\, 2\pi + 2)$ היא נקודת מקסימום קצה.

הכלל: הערך הקטן ביותר של פונקציה רציפה בתחום סגור הוא הקטן מבין ערכי המינימום שלה, כולל נקודות הקצה. אם הוא חיובי, הפונקציה חיובית בכל התחום.

(1) ערכי המינימום מסעיף ב:

$f(0) = 2,\quad f\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \dfrac{5\pi}{6} - \sqrt3$

במחשבון:

$\dfrac{5\pi}{6} - \sqrt3 \approx 2.618 - 1.732 = 0.886 > 0$

הערך הקטן ביותר של הפונקציה בתחום הוא $\dfrac{5\pi}{6} - \sqrt3$, והוא חיובי. לכן $f(x) > 0$ לכל $x$ בתחום, והגרף אינו פוגש את ציר $x$. מש״ל

(2) הסקיצה, מהנקודות שמצאנו בסעיף ב:

הכלל: נקודות החיתוך של שני גרפים מתקבלות מהשוואת הביטויים שלהם. שיעור $y$ של נקודה על הישר $y = x$ שווה לשיעור $x$ שלה.

משווים:

$x + 2\cos(x) = x \quad\Rightarrow\quad 2\cos(x) = 0 \quad\Rightarrow\quad \cos(x) = 0$

בתחום $0 \le x \le 2\pi$:

$x = \dfrac{\pi}{2}$ או $x = \dfrac{3\pi}{2}$

נקודות החיתוך:

$\left(\dfrac{\pi}{2},\, \dfrac{\pi}{2}\right),\quad \left(\dfrac{3\pi}{2},\, \dfrac{3\pi}{2}\right)$

הכלל: שטח בין שני גרפים הוא האינטגרל של הגרף העליון פחות הגרף התחתון, בין נקודות החיתוך שלהם. הפונקציה הקדומה של $\cos(x)$ היא $\sin(x)$ (ברדיאנים).

ההפרש בין הישר ובין הפונקציה:

$x - f(x) = x - \big(x + 2\cos(x)\big) = -2\cos(x)$

בתחום $\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{3\pi}{2}$ מתקיים $\cos(x) < 0$, ולכן הישר מעל הגרף. השטח:

$S = \displaystyle\int_{\pi/2}^{3\pi/2} \big(-2\cos(x)\big)\,dx$

פונקציה קדומה והצבת הגבולות:

$S = \big[-2\sin(x)\big]_{\pi/2}^{3\pi/2} = -2\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) + 2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$

מציבים $\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = -1$ וגם $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$:

$S = -2\cdot(-1) + 2\cdot 1 = 4$

הסרטוט: הגרף, הישר $y = x$ (קו מקווקו) והשטח ביניהם: