מתכונת א

הכלל: האנך ממרכז המעגל אל מיתר חוצה את המיתר, ולכן אם $M$ אמצע $DC$ המשולש $OMC$ ישר זווית, והגובה $OM$ מתקבל ממשפט פיתגורס. שטח טרפז הוא $\dfrac{(AB + DC) \cdot h}{2}$.

נסמן ב $M$ את אמצע המיתר $DC$. הקטע $OM$ מאונך למיתר (הקטע מהמרכז לאמצע מיתר מאונך לו), וגם:

$MC = \dfrac{DC}{2} = x$

$DC \parallel AB$, ולכן $OM$ מאונך גם ל $AB$, והוא גובה הטרפז. משפט פיתגורס במשולש $OMC$, עם $OC = R$:

$h = OM = \sqrt{OC^2 - MC^2} = \sqrt{R^2 - x^2}$

הבסיס הגדול הוא הקוטר:

$AB = 2R$

שטח הטרפז:

$S(x) = \dfrac{(AB + DC) \cdot h}{2} = \dfrac{(2R + 2x)\sqrt{R^2 - x^2}}{2} = (R + x)\sqrt{R^2 - x^2}$

הסרטוט עם מה שמצאנו:

הכלל: שטח מקסימלי מוצאים בנגזרת: מאפסים אותה ובודקים בטבלת סימנים שזו נקודת מקסימום. $S(x)$ היא מכפלה, ולכן גוזרים בכלל המכפלה, ואת השורש גוזרים לפי $\left(\sqrt{u}\right)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ (כפול הנגזרת הפנימית). המשתנה הוא $x$, ו $R$ פרמטר קבוע.

הנגזרת של השורש:

$\left(\sqrt{R^2 - x^2}\right)' = \dfrac{-2x}{2\sqrt{R^2 - x^2}} = \dfrac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}}$

כלל המכפלה:

$S'(x) = 1 \cdot \sqrt{R^2 - x^2} + (R + x) \cdot \dfrac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}}$

מכנה משותף:

$S'(x) = \dfrac{R^2 - x^2 - Rx - x^2}{\sqrt{R^2 - x^2}} = \dfrac{R^2 - Rx - 2x^2}{\sqrt{R^2 - x^2}}$

פירוק המונה לגורמים:

$R^2 - Rx - 2x^2 = (R - 2x)(R + x)$

מאפסים את המונה. הגורם $R + x$ חיובי (כי $x > 0$), ולכן:

$R - 2x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{R}{2}$

טבלת הסימנים (המכנה והגורם $R + x$ חיוביים, ולכן הסימן של $S'$ הוא הסימן של $R - 2x$):

השטח עולה עד $x = \dfrac{R}{2}$ ויורד אחריו, ולכן הוא מקסימלי כאשר:

$x = \dfrac{R}{2}$

הכלל: השטח המקסימלי מתקבל בהצבת $x = \dfrac{R}{2}$ (סעיף ב) בפונקציית השטח. משווים אותו לנתון ופותרים משוואה שבה הנעלם הוא $R$.

מציבים $x = \dfrac{R}{2}$ בגובה:

$h = \sqrt{R^2 - \dfrac{R^2}{4}} = \sqrt{\dfrac{3R^2}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}R$

השטח המקסימלי:

$S_{\max} = \left(R + \dfrac{R}{2}\right) \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}R = \dfrac{3R}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}R = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}R^2$

משווים לנתון:

$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}R^2 = 27\sqrt{3} \quad\Rightarrow\quad R^2 = 36$

הרדיוס חיובי, ולכן:

$R = 6$

הכלל: את אורך השוק מוצאים ממשפט פיתגורס במשולש ישר הזווית שיוצר הגובה מהקודקוד $C$. היקף הוא סכום ארבע הצלעות.

הבסיס הקטן בטרפז המקסימלי, עם $x = \dfrac{R}{2}$:

$DC = 2x = 2 \cdot \dfrac{R}{2} = R$

נוריד מ $C$ אנך $CK$ אל $AB$. המרובע $OKCM$ מלבן, ולכן $CK = OM = \dfrac{\sqrt{3}}{2}R$ (סעיף ג) וגם $OK = MC = \dfrac{R}{2}$:

$KB = OB - OK = R - \dfrac{R}{2} = \dfrac{R}{2}$

משפט פיתגורס במשולש $CKB$:

$BC = \sqrt{KB^2 + CK^2} = \sqrt{\dfrac{R^2}{4} + \dfrac{3R^2}{4}} = \sqrt{R^2} = R$

הנקודה $D$ סימטרית ל $C$ ביחס לישר $OM$ (שני הקטעים $MD$ ו $MC$ שווים ומאונכים ל $OM$), ולכן גם $AD = BC$:

$AD = DC = CB = R$ מש״ל

ההיקף בעבור $R = 6$:

$P = AB + BC + CD + DA = 2R + 3R = 5R = 5 \cdot 6 = 30$

הסרטוט עם מה שמצאנו: