מתכונת א

הכלל: בכל אחד משני המשולשים ישרי הזווית $ABD$ ו $DBC$ משתמשים בהגדרות של סינוס וטנגנס, ואת הזווית שבקודקוד $D$ במשולש $DBC$ מקבלים מ $\alpha$ דרך הישרים המקבילים.

במשולש $ABD$ (הזווית $DAB$ ישרה) הניצב $AD$ מול הזווית $\alpha$:

$\sin\alpha = \dfrac{AD}{BD} = \dfrac{k}{BD}$

מבודדים:

$BD = \dfrac{k}{\sin\alpha}$

הישרים $AB$ ו $DC$ מקבילים, והאלכסון $BD$ חותך אותם:

$\angle BDC = \angle ABD = \alpha$ (זוויות מתחלפות)

במשולש $DBC$ (הזווית $DBC$ ישרה) הניצב $BC$ מול הזווית $\alpha$, והניצב $BD$ לידה:

$\tan\alpha = \dfrac{BC}{BD}$

מבודדים ומציבים:

$BC = BD \cdot \tan\alpha = \dfrac{k}{\sin\alpha} \cdot \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{k}{\cos\alpha}$

הסרטוט עם מה שמצאנו:

הכלל: שטח משולש ישר זווית הוא חצי מכפלת הניצבים. מביעים את שני השטחים באמצעות $k$ ו $\alpha$, ומהיחס הנתון מתקבלת משוואה בנעלם $\alpha$ בלבד.

הניצב $AB$ במשולש $ABD$:

$\tan\alpha = \dfrac{AD}{AB} \quad\Rightarrow\quad AB = \dfrac{k}{\tan\alpha} = \dfrac{k\cos\alpha}{\sin\alpha}$

שטח המשולש $ABD$:

$S_{\triangle ABD} = \dfrac{AB \cdot AD}{2} = \dfrac{k^2\cos\alpha}{2\sin\alpha}$

שטח המשולש $DBC$, עם הצלעות מסעיף א:

$S_{\triangle DBC} = \dfrac{BD \cdot BC}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{k}{\sin\alpha} \cdot \dfrac{k}{\cos\alpha} = \dfrac{k^2}{2\sin\alpha\cos\alpha}$

היחס הנתון:

$\dfrac{k^2}{2\sin\alpha\cos\alpha} = 4 \cdot \dfrac{k^2\cos\alpha}{2\sin\alpha}$

כופלים ב $\dfrac{2\sin\alpha}{k^2}$:

$\dfrac{1}{\cos\alpha} = 4\cos\alpha \quad\Rightarrow\quad \cos^2\alpha = \dfrac{1}{4}$

הזווית $\alpha$ חדה (זווית במשולש ישר זווית), ולכן $\cos\alpha > 0$:

$\cos\alpha = \dfrac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad \alpha = 60^{\circ}$

הכלל: משפט הסינוסים המורחב: היחס בין צלע לסינוס הזווית שמולה שווה לקוטר המעגל החוסם, $\dfrac{DC}{\sin\angle DBC} = 2R$. במשולש $DBC$ הזווית שמול $DC$ ישרה.

משפט הסינוסים המורחב במשולש $DBC$:

$DC = 2R \cdot \sin 90^{\circ} = 2 \cdot 8 \cdot 1 = 16$

במשולש $DBC$ הניצב $BD$ נמצא ליד הזווית $BDC = 60^{\circ}$:

$\cos 60^{\circ} = \dfrac{BD}{DC} \quad\Rightarrow\quad BD = 16 \cdot \dfrac{1}{2} = 8$

מסעיף א $BD = \dfrac{k}{\sin\alpha}$, ולכן:

$k = BD \cdot \sin 60^{\circ} = 8 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$

הסרטוט עם האורכים שמצאנו:

הכלל: במשולש $ABC$ ידועות שתי צלעות והזווית שביניהן, ולכן משפט הקוסינוסים נותן את הצלע השלישית $AC$. את רדיוס המעגל החוסם נותן משפט הסינוסים המורחב, $\dfrac{AC}{\sin\angle ABC} = 2R$.

הצלע $AB$ (מסעיף ב, עם $k = 4\sqrt{3}$ ו $\alpha = 60^{\circ}$):

$AB = \dfrac{k\cos 60^{\circ}}{\sin 60^{\circ}} = \dfrac{4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4$

הצלע $BC$ (מסעיף א):

$BC = \dfrac{k}{\cos 60^{\circ}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 8\sqrt{3}$

הקרן $BD$ נמצאת בתוך הזווית $ABC$:

$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 60^{\circ} + 90^{\circ} = 150^{\circ}$

משפט הקוסינוסים במשולש $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 150^{\circ}$

מציבים:

$AC^2 = 16 + 192 - 2 \cdot 4 \cdot 8\sqrt{3} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

מחשבים:

$AC^2 = 208 + 96 = 304 \quad\Rightarrow\quad AC = \sqrt{304} = 4\sqrt{19}$

משפט הסינוסים המורחב:

$2R = \dfrac{AC}{\sin 150^{\circ}} = \dfrac{4\sqrt{19}}{\frac{1}{2}} = 8\sqrt{19}$

מכאן:

$R = 4\sqrt{19} \approx 17.44$

הסרטוט עם המשולש $ABC$: