מתכונת א

הכלל: במעגל, על מיתרים שווים נשענות זוויות היקפיות שוות. שתי הזוויות שבקודקוד $C$ נשענות על המיתרים $AB$ ו $AD$.

הזווית $ACB$ היא זווית היקפית הנשענת על המיתר $AB$, והזווית $ACD$ היא זווית היקפית הנשענת על המיתר $AD$.

נתון $AB = AD$, ולכן:

$\angle ACB = \angle ACD$ (זוויות היקפיות הנשענות על מיתרים שווים)

הקרן $CA$ מחלקת את הזווית $BCD$ לשתי זוויות שוות, ולכן $CA$ חוצה את הזווית $BCD$. מש״ל

הסרטוט עם מה שהוכחנו (שתי הזוויות השוות מסומנות באות $\alpha$):

הכלל: משולשים דומים לפי משפט ז.ז כשיש להם שתי זוויות שוות. את הזוויות השוות נותנים המשולש שווה השוקיים $ABD$ והזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת, ומהדמיון כותבים יחס של צלעות מתאימות.

במשולש $ABD$ נתון $AB = AD$, ולכן זוויות הבסיס שוות:

$\angle ABD = \angle ADB$

הזוויות $ADB$ ו $ACB$ הן זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת $AB$:

$\angle ADB = \angle ACB$

משני השוויונים, ומכיוון שהנקודה $E$ על $BD$:

$\angle ABE = \angle ABD = \angle ACB$

הנקודה $E$ על $AC$, ולכן הזווית שבקודקוד $A$ משותפת:

$\angle BAE = \angle CAB$

לפי משפט דמיון ז.ז:

$\triangle ABE \sim \triangle ACB$ (בהתאמה $A \leftrightarrow A$, $B \leftrightarrow C$, $E \leftrightarrow B$)

יחס הצלעות המתאימות:

$\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$

כפל בהצלבה:

$AB^2 = AE \cdot AC$ מש״ל

הכלל: מהשוויון $AB^2 = AE \cdot AC$ (סעיף ב) מקבלים את $AB$, ואת $BE$ נותן יחס הצלעות המתאימות באותו דמיון, $\dfrac{BE}{CB} = \dfrac{AB}{AC}$.

האורך של $AC$:

$AC = AE + EC = 4 + 5 = 9$

מסעיף ב:

$AB^2 = AE \cdot AC = 4 \cdot 9 = 36 \quad\Rightarrow\quad AB = 6$

יחס הדמיון מסעיף ב:

$\dfrac{BE}{CB} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$

מכאן:

$BE = \dfrac{2}{3} \cdot 4.5 = 3$

הסרטוט עם האורכים שמצאנו:

הכלל: משולשים בעלי אותו גובה מתייחסים כמו הבסיסים שלהם. האלכסונים מחלקים את המרובע לארבעה משולשים שקודקודם המשותף $E$, ואת $ED$ מוצאים מדמיון המשולשים $ABE$ ו $DCE$.

הזוויות $BAC$ ו $BDC$ הן זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת $BC$, והזוויות שבקודקוד $E$ קודקודיות:

$\angle BAE = \angle CDE, \quad \angle AEB = \angle DEC$

לפי ז.ז $\triangle ABE \sim \triangle DCE$, ומיחס הצלעות המתאימות:

$\dfrac{AE}{DE} = \dfrac{BE}{CE} \quad\Rightarrow\quad DE = \dfrac{AE \cdot CE}{BE} = \dfrac{4 \cdot 5}{3} = \dfrac{20}{3}$

למשולשים $ABE$ ו $CBE$ אותו גובה מהקודקוד $B$ אל $AC$, והבסיסים הם $AE = 4$ ו $EC = 5$:

$S_{\triangle CBE} = \dfrac{5}{4}S$

למשולשים $ABE$ ו $ADE$ אותו גובה מהקודקוד $A$ אל $BD$, והבסיסים הם $BE = 3$ ו $ED = \dfrac{20}{3}$:

$S_{\triangle ADE} = \dfrac{20/3}{3}S = \dfrac{20}{9}S$

למשולשים $CBE$ ו $CDE$ אותו גובה מהקודקוד $C$ אל $BD$, עם אותם בסיסים:

$S_{\triangle CDE} = \dfrac{20}{9} \cdot \dfrac{5}{4}S = \dfrac{25}{9}S$

סכום ארבעת המשולשים:

$S_{ABCD} = S + \dfrac{5}{4}S + \dfrac{20}{9}S + \dfrac{25}{9}S$

מכנה משותף $36$:

$S_{ABCD} = \dfrac{36 + 45 + 80 + 100}{36}S = \dfrac{261}{36}S = \dfrac{29}{4}S$

הסרטוט עם השטחים שמצאנו: