מתכונת א

הכלל: סדרה היא הנדסית כאשר היחס בין כל איבר לאיבר שלפניו קבוע. מביעים את $b_{n+1}$ באמצעות $a_{n+1}$, ומציבים במקומו את כלל הנסיגה.

לפי הגדרת $b_n$, עבור המקום $n+1$:

$b_{n+1} = a_{n+1} - 6$

מציבים את כלל הנסיגה:

$b_{n+1} = \dfrac{a_n + 12}{3} - 6$

מכנה משותף:

$b_{n+1} = \dfrac{a_n + 12 - 18}{3} = \dfrac{a_n - 6}{3}$

המונה הוא $b_n$:

$b_{n+1} = \dfrac{b_n}{3}$

האיבר הראשון $b_1 = k - 6$ שונה מאפס (נתון $k \neq 6$), ולכן כל האיברים שונים מאפס, ואפשר לחלק:

$\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{1}{3}$

היחס קבוע ואינו תלוי ב $n$, ולכן $b_n$ היא סדרה הנדסית שמנתה $q = \dfrac{1}{3}$. מש״ל

הכלל: סדרה יורדת כאשר $a_{n+1} - a_n < 0$ לכל $n$. מביעים את ההפרש באמצעות $b_n$, ובסדרה הנדסית שמנתה חיובית לכל האיברים אותו סימן כמו לאיבר הראשון.

ההפרש בין איברים עוקבים, לפי כלל הנסיגה:

$a_{n+1} - a_n = \dfrac{a_n + 12}{3} - a_n$

מכנה משותף:

$a_{n+1} - a_n = \dfrac{a_n + 12 - 3a_n}{3} = \dfrac{12 - 2a_n}{3}$

מוציאים גורם משותף $-\dfrac{2}{3}$:

$a_{n+1} - a_n = -\dfrac{2}{3}\left(a_n - 6\right) = -\dfrac{2}{3}b_n$

לכן הסדרה יורדת בדיוק כאשר $b_n > 0$ לכל $n$. האיבר הכללי של $b_n$ (סעיף א):

$b_n = (k - 6) \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$

החזקה $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$ חיובית תמיד, ולכן הסימן של כל $b_n$ הוא הסימן של $k - 6$:

$k - 6 > 0 \quad\Rightarrow\quad k > 6$

הכלל: לסדרה הנדסית שמנתה מקיימת $|q| < 1$ יש סכום אין-סופי $S = \dfrac{b_1}{1-q}$. את $a_n$ מקבלים מהגדרת $b_n$: אם $b_n = a_n - 6$, אז $a_n = b_n + 6$.

המנה $q = \dfrac{1}{3}$ מקיימת $|q| < 1$, ולכן לסדרה $b_n$ יש סכום. האיבר הראשון:

$b_1 = a_1 - 6 = k - 6$

נוסחת הסכום:

$S = \dfrac{b_1}{1-q} = \dfrac{k-6}{1 - \frac{1}{3}} = \dfrac{3(k-6)}{2}$

משווים לנתון:

$\dfrac{3(k-6)}{2} = 12 \quad\Rightarrow\quad k - 6 = 8 \quad\Rightarrow\quad k = 14$

האיבר הכללי של $b_n$, עם $b_1 = 8$:

$b_n = 8 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$

לכן:

$a_n = b_n + 6 = 6 + 8 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$

הכלל: כל איבר הוא $a_i = 6 + b_i$, ולכן סכום $n$ האיברים הראשונים של $a_n$ הוא $6n$ ועוד סכום $n$ האיברים הראשונים של הסדרה ההנדסית $b_n$, שמחשבים בנוסחה $S_n = \dfrac{b_1\left(1 - q^n\right)}{1 - q}$.

מפצלים את הסכום:

$a_1 + a_2 + \ldots + a_n = (6 + b_1) + (6 + b_2) + \ldots + (6 + b_n) = 6n + \left(b_1 + b_2 + \ldots + b_n\right)$

סכום $n$ האיברים הראשונים של $b_n$, עם $b_1 = 8$ ו $q = \dfrac{1}{3}$:

$b_1 + \ldots + b_n = \dfrac{8\left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1 - \frac{1}{3}} = 12\left(1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^n\right)$

משווים לנתון. המחובר $6n$ מופיע בשני האגפים ומצטמצם:

$12\left(1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^n\right) = \dfrac{968}{81}$

מחלקים ב $12$:

$1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^n = \dfrac{968}{972} = \dfrac{242}{243}$

מבודדים:

$\left(\dfrac{1}{3}\right)^n = \dfrac{1}{243} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^5 \quad\Rightarrow\quad n = 5$

בדיקה:

$6 \cdot 5 + 12\left(1 - \dfrac{1}{243}\right) = 30 + \dfrac{12 \cdot 242}{243} = 30 + \dfrac{968}{81}$