מתכונת א

הכלל: פונקציה היא זוגית כאשר תחום ההגדרה שלה סימטרי ביחס לראשית ו $f(-x) = f(x)$ לכל $x$ בתחום. כאן הפונקציה בנויה מקוסינוסים בלבד, והקוסינוס הוא פונקציה זוגית.

התחום $-\pi \le x \le \pi$ סימטרי ביחס לראשית.

מציבים $-x$:

$f(-x) = \cos(-2x) + b\cos(-x) = \cos(2x) + b\cos(x) = f(x)$

לכן הפונקציה זוגית לכל ערך של $b$, וגרפה סימטרי ביחס לציר $y$.

הכלל: בנקודת קיצון פנימית הנגזרת שווה לאפס, ולכן מציבים $x = \dfrac{2\pi}{3}$ בנגזרת ופותרים משוואה בנעלם $b$. גוזרים ברדיאנים, ואת $\cos(2x)$ גוזרים כפול הנגזרת הפנימית $2$.

הנגזרת:

$f'(x) = -\sin(2x) \cdot 2 - b\sin(x) = -2\sin(2x) - b\sin(x)$

מציבים $x = \dfrac{2\pi}{3}$:

$f'\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -2\sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) - b\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$

מציבים את ערכי הסינוס:

$-2 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) - b \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}b$

משווים לאפס:

$\sqrt{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = 2$

בטבלת הסימנים שבסעיף ג רואים שעבור $b = 2$ הנגזרת אכן מחליפה סימן בנקודה $x = \dfrac{2\pi}{3}$, כלומר זו באמת נקודת קיצון.

הכלל: נקודות קיצון נמצאות היכן שהנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן, ובתחום סגור גם בקצוות. כדי לפרק את הנגזרת לגורמים משתמשים בזהות $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ שבדף הנוסחאות.

הנגזרת עם $b = 2$:

$f'(x) = -2\sin(2x) - 2\sin(x)$

מציבים את הזהות:

$f'(x) = -4\sin(x)\cos(x) - 2\sin(x)$

גורם משותף:

$f'(x) = -2\sin(x)\left(2\cos(x) + 1\right)$

הגורם הראשון מתאפס:

$\sin(x) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -\pi, \; 0, \; \pi$

הגורם השני מתאפס:

$\cos(x) = -\dfrac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad x = -\dfrac{2\pi}{3}, \; \dfrac{2\pi}{3}$

טבלת הסימנים:

ערך הפונקציה בנקודה $x = 0$:

$f(0) = \cos(0) + 2\cos(0) = 1 + 2 = 3$

ערך הפונקציה בנקודות $x = \pm\dfrac{2\pi}{3}$ (הפונקציה זוגית, ולכן הערך זהה):

$f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) + 2\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2} - 1 = -\dfrac{3}{2}$

ערך הפונקציה בקצוות:

$f(\pm\pi) = \cos(2\pi) + 2\cos(\pi) = 1 - 2 = -1$

מימין לקצה $x = -\pi$ הפונקציה יורדת, ומשמאל לקצה $x = \pi$ היא עולה, ולכן שני הקצוות הם נקודות מקסימום קצה.

הכלל: חיתוך עם ציר $y$ מתקבל בהצבת $x = 0$, וחיתוך עם ציר $x$ בפתרון המשוואה $f(x) = 0$. בעזרת הזהות $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$ שבדף הנוסחאות המשוואה הופכת למשוואה ריבועית בנעלם $\cos(x)$.

חיתוך עם ציר $y$ (מסעיף ג):

$f(0) = 3 \quad\Rightarrow\quad (0,\,3)$

חיתוך עם ציר $x$, מציבים את הזהות:

$2\cos^2(x) - 1 + 2\cos(x) = 0$

מסמנים $t = \cos(x)$:

$2t^2 + 2t - 1 = 0$

נוסחת השורשים:

$t = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{4} = \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$

השורש $\dfrac{-1 - \sqrt{3}}{2} \approx -1.37$ קטן מ $-1$ ונפסל. נשאר:

$\cos(x) = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2} \approx 0.366$

הפתרונות בתחום $-\pi \le x \le \pi$ (ברדיאנים):

$x \approx 1.20, \quad x \approx -1.20$

הסקיצה לפי סעיף ג: הגרף יורד מהקצה $(-\pi,\,-1)$ אל המינימום שבנקודה $x = -\dfrac{2\pi}{3}$, עולה דרך $(-1.20,\,0)$ אל המקסימום $(0,\,3)$, ובצד ימין הוא סימטרי לכך ביחס לציר $y$.

הכלל: מספר הפתרונות של המשוואה $f(x) = k$ הוא מספר נקודות החיתוך של גרף $f$ עם הישר האופקי $y = k$. סופרים חיתוכים בעזרת הסקיצה, לפי הגובה של הישר ביחס לערכי הקיצון.

בחצי הימני (החצי השמאלי סימטרי לו): בקטע $0 \le x \le \dfrac{2\pi}{3}$ הפונקציה יורדת מ $3$ אל $-\dfrac{3}{2}$, ובקטע $\dfrac{2\pi}{3} \le x \le \pi$ היא עולה מ $-\dfrac{3}{2}$ אל $-1$.

כאשר $k = 3$ יש נקודה משותפת אחת בלבד:

$x = 0$

כאשר $-1 < k < 3$ יש חיתוך אחד בקטע היורד של כל חצי, ואין חיתוך בקטע העולה (שם $f \le -1$). סך הכול שני פתרונות.

כאשר $k = -1$ יש בכל חצי חיתוך בקטע היורד וחיתוך בקצה ($x = \pm\pi$). סך הכול ארבעה פתרונות.

כאשר $-\dfrac{3}{2} < k < -1$ יש בכל חצי שני חיתוכים. סך הכול ארבעה פתרונות.

כאשר $k = -\dfrac{3}{2}$ הישר נוגע רק בשתי נקודות המינימום, $x = \pm\dfrac{2\pi}{3}$. סך הכול שני פתרונות.

כאשר $k > 3$ או $k < -\dfrac{3}{2}$ אין פתרונות.

בדיוק שני פתרונות מתקבלים כאשר:

$-1 < k < 3 \;\;$ או $\;\; k = -\dfrac{3}{2}$