מתכונת א

הכלל: טענה "לכל $n$ טבעי" מוכיחים באינדוקציה: בודקים את $n=1$, מניחים שהטענה נכונה עבור $n=k$, ומוכיחים שהיא נכונה עבור $n=k+1$. "מתחלק ב $4$" כותבים כשוויון לביטוי $4m$, כאשר $m$ שלם, ובצעד מפרקים את החזקות כך שיופיע הביטוי שבהנחה.

בסיס ($n=1$):

$7^1 + 3^{2} = 7 + 9 = 16 = 4 \cdot 4$

המספר $16$ מתחלק ב $4$, ולכן הטענה נכונה עבור $n=1$.

הנחה ($n=k$): קיים מספר שלם $m$ כך ש:

$7^k + 3^{k+1} = 4m$

צעד ($n=k+1$). צריך להראות שהביטוי הבא מתחלק ב $4$:

$7^{k+1} + 3^{k+2}$

מפרקים את החזקות:

$7^{k+1} + 3^{k+2} = 7 \cdot 7^k + 3 \cdot 3^{k+1}$

כותבים $3 = 7 - 4$ במחובר השני:

$7 \cdot 7^k + 3 \cdot 3^{k+1} = 7 \cdot 7^k + 7 \cdot 3^{k+1} - 4 \cdot 3^{k+1}$

גורם משותף $7$ לשני המחוברים הראשונים, ומציבים את ההנחה:

$7\left(7^k + 3^{k+1}\right) - 4 \cdot 3^{k+1} = 7 \cdot 4m - 4 \cdot 3^{k+1} = 4\left(7m - 3^{k+1}\right)$

הביטוי $7m - 3^{k+1}$ הוא מספר שלם, ולכן $7^{k+1} + 3^{k+2}$ מתחלק ב $4$. הטענה נכונה עבור $n=1$, ומנכונותה עבור $k$ נובעת נכונותה עבור $k+1$, ולכן היא נכונה לכל $n$ טבעי. מש״ל

סעיף (2). לפי סעיף (1) עם $n = 20$, קיים מספר שלם $j$ כך ש:

$7^{20} + 3^{21} = 4j$

כותבים את המספר המבוקש בעזרת המספר הזה:

$7^{20} + 3^{20} = \left(7^{20} + 3^{21}\right) - 3 \cdot 3^{20} + 3^{20} = 4j - 2 \cdot 3^{20}$

המספר $3^{20}$ אי-זוגי (מכפלה של מספרים אי-זוגיים), ולכן קיים מספר שלם $t$ כך ש $3^{20} = 2t + 1$:

$2 \cdot 3^{20} = 4t + 2$

מציבים:

$7^{20} + 3^{20} = 4j - 4t - 2 = 4(j - t - 1) + 2$

המספר $j - t - 1$ שלם, ולכן השארית בחלוקה ב $4$ היא $2$.

הכלל: משולשים חופפים לפי משפט חפיפה ז.צ.ז כשיש להם צלע שווה ושתי הזוויות שלידה שוות, וישרים מקבילים כשהזוויות המתאימות שוות. בסעיף (2): משפט חוצה הזווית (חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולה ביחס של שתי הצלעות הכולאות את הזווית), ואחריו דמיון.

סעיף (1). במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות:

$\angle ABC = \angle ACB$

חוצי הזוויות מחלקים אותן לחצאים שווים:

$\angle DBC = \dfrac{1}{2}\angle ABC = \dfrac{1}{2}\angle ACB = \angle ECB$

המשולשים $EBC$ ו $DCB$ חופפים לפי ז.צ.ז: $\angle EBC = \angle DCB$ (זוויות הבסיס), $BC$ צלע משותפת, $\angle ECB = \angle DBC$ (חצאי זוויות שוות).

מהחפיפה, צלעות מתאימות שוות:

$BE = CD$ מש״ל

מחסרים את הקטעים השווים מהשוקיים השוות:

$AE = AB - BE = AC - CD = AD$

המשולש $AED$ שווה שוקיים, והזווית $A$ משותפת לו ולמשולש $ABC$. לכן זוויות הבסיס שלו שוות לזוויות הבסיס של $ABC$:

$\angle AED = \dfrac{180^{\circ} - \angle A}{2} = \angle ABC$

אלו זוויות מתאימות בין הישרים $DE$ ו $BC$ והחותך $AB$, ולכן:

$DE \parallel BC$ מש״ל

סעיף (2). משפט חוצה הזווית במשולש $ABC$, עם החוצה $BD$:

$\dfrac{AD}{DC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$

השוק $AC$ מחולקת ביחס $3 : 2$, ולכן:

$AD = \dfrac{3}{5} \cdot 12 = 7.2$

מ $DE \parallel BC$ המשולשים $ADE$ ו $ACB$ דומים (ז.ז: הזווית $A$ משותפת, ו $\angle ADE = \angle ACB$ זוויות מתאימות), ויחס הצלעות המתאימות:

$\dfrac{DE}{CB} = \dfrac{AD}{AC}$

מציבים:

$DE = 8 \cdot \dfrac{7.2}{12} = 4.8$

הסרטוט עם מה שמצאנו:

הכלל: $g(t)$ הוא האינטגרל של $f$ מ $0$ עד $t$: שטח שמעל ציר $x$ נספר בחיוב, ושטח שמתחתיו בשלילה. הנגזרת של פונקציה צוברת היא $g'(t) = f(t)$, ולכן נקודות הקיצון של $g$ הן הנקודות שבהן $f$ מחליפה סימן.

סעיף (1). הקטע הראשון יורד מגובה $2$ אל גובה $-2$ במרחק $4$, ולכן הוא חותך את ציר $x$ באמצע, בנקודה $x = 2$. מאותה סיבה הקטע השני חותך את ציר $x$ בנקודה $x = 6$.

בתחום $0 \le x \le 2$ הגרף מעל ציר $x$, והשטח הוא משולש שבסיסו $2$ וגובהו $2$:

$g(2) = \dfrac{2 \cdot 2}{2} = 2$

בתחום $2 \le x \le 4$ הגרף מתחת לציר $x$, במשולש שבסיסו $2$ וגובהו $2$:

$g(4) = 2 - \dfrac{2 \cdot 2}{2} = 0$

בתחום $4 \le x \le 6$ יש עוד משולש מתחת לציר (שטח $2$), ובתחום $6 \le x \le 8$ משולש מעל הציר (שטח $2$):

$g(8) = 0 - 2 + 2 = 0$

סעיף (2). לפי $g'(t) = f(t)$, טבלת הסימנים:

בנקודה $t = 2$ מקסימום, והערך מסעיף (1):

$(2,\,2)$

בנקודה $t = 6$ מינימום. הערך:

$g(6) = g(4) - 2 = 0 - 2 = -2 \quad\Rightarrow\quad (6,\,-2)$

סעיף (3). בתחום $4 \le t \le 8$ הפונקציה $g$ יורדת מ $0$ אל $-2$ ועולה בחזרה אל $0$, ולכן שם $g(t) \le 0$ ואין פתרון. מחפשים בתחום $0 \le t \le 4$.

שם $f$ היא הישר דרך $(0,\,2)$ ו $(4,\,-2)$. השיפוע:

$m = \dfrac{-2 - 2}{4 - 0} = -1$

משוואת הישר, עם החיתוך $(0,\,2)$ עם ציר $y$:

$f(x) = 2 - x$

האינטגרל:

$g(t) = \displaystyle\int_0^t (2 - x)\,dx = \left[2x - \dfrac{x^2}{2}\right]_0^t = 2t - \dfrac{t^2}{2}$

משווים ל $1.5$ וכופלים ב $-2$:

$2t - \dfrac{t^2}{2} = 1.5 \quad\Rightarrow\quad t^2 - 4t + 3 = 0$

פירוק לגורמים (שני הפתרונות בתחום $0 \le t \le 4$):

$(t - 1)(t - 3) = 0 \quad\Rightarrow\quad t = 1, \; t = 3$

למשל $g(3)$ הוא השטח שמעל הציר פחות השטח שמתחתיו, $2 - 0.5 = 1.5$:

הכלל: פונקציה שנגזרתה נתונה מוצאים באינטגרל, ואת הקבוע $C$ קובעת נקודה על הגרף. המחובר $6x$ הוא פי $3$ מהנגזרת של $x^2-1$, ולכן זה אינטגרל מהצורה $\int u' \cdot u^2\,dx$. נקודת קיצון היא נקודה שבה הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן.

סעיף (1). כותבים את $g$ כאינטגרל:

מסמנים $u = x^2 - 1$, ואז $u' = 2x$:

מחזירים את $u$:

מציבים את הנקודה $(1,\,2)$:

$\left(1^2 - 1\right)^3 + C = 2 \quad\Rightarrow\quad C = 2$

הפונקציה:

סעיף (2). מאפסים את הנגזרת:

$6x\left(x^2-1\right)^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0, \; x = 1, \; x = -1$

טבלת הסימנים (הגורם $\left(x^2-1\right)^2$ אינו שלילי, ולכן הסימן של $g'$ הוא הסימן של $6x$):

בנקודות $x = -1$ ו $x = 1$ הנגזרת מתאפסת אבל אינה מחליפה סימן, ולכן בהן אין קיצון.

בנקודה $x = 0$ הנגזרת עוברת משלילית לחיובית, ולכן זו נקודת מינימום:

$g(0) = (0 - 1)^3 + 2 = 1 \quad\Rightarrow\quad (0,\,1)$

סעיף (3). הגרף של $f$ חותך את ציר $x$ בנקודות $x = -1, 0, 1$ (סעיף 2). לפי טבלת הסימנים הוא מתחת לציר בתחום $-1 < x < 0$ ומעליו בתחום $0 < x < 1$, ומחוץ לתחום $-1 \le x \le 1$ הוא אינו חוזר אל הציר.

השטח שמתחת לציר, כשהפונקציה הקדומה של $f$ היא $g$:

$S_1 = -\displaystyle\int_{-1}^{0} f(x)\,dx = -\left(g(0) - g(-1)\right) = -(1 - 2) = 1$

השטח שמעל לציר:

$S_2 = \displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx = g(1) - g(0) = 2 - 1 = 1$

השטח הכולל:

$S = S_1 + S_2 = 1 + 1 = 2$