מתכונת א

הכלל: שורש מוגדר כשהביטוי שמתחתיו אי-שלילי, ושבר מוגדר רק כשהמכנה שונה מאפס. הביטוי שמתחת לשורש הוא מנה ולא ביטוי ריבועי, ולכן אין כאן אי-שוויון ריבועי לפתור בשיטת הפרבולה: את הסימן קוראים מטבלת סימנים של המונה ושל המכנה.

סעיף (1). התנאים:

$\dfrac{x}{x-a} \ge 0, \quad x \neq a$

טבלת הסימנים (המונה מתאפס בנקודה $x = 0$, המכנה בנקודה $x = a$, ונתון $a > 0$):

הביטוי אי-שלילי עבור $x \le 0$ ועבור $x > a$, ולכן תחום ההגדרה:

$x \le 0 \;\;$ או $\;\; x > a$

סעיף (2). כאשר $x \to a^{+}$ המונה שואף ל $a > 0$ והמכנה ל $0^{+}$:

$\dfrac{x}{x-a} \to +\infty \quad\Rightarrow\quad f(x) \to +\infty$

לכן האסימפטוטה האנכית:

$x = a$

כאשר $x \to \pm\infty$ מחלקים את המונה ואת המכנה ב $x$:

$\dfrac{x}{x-a} = \dfrac{1}{1 - \frac{a}{x}} \to \dfrac{1}{1 - 0} = 1$

לכן $f(x) \to \sqrt{1} = 1$ בשני הכיוונים, והאסימפטוטה האופקית:

$y = 1$

חיתוך עם הצירים: $f(x) = 0$ רק כאשר המונה מתאפס, כלומר כאשר $x = 0$:

$f(0) = \sqrt{\dfrac{0}{0-a}} = 0$

הנקודה $(0,\,0)$ היא נקודת החיתוך היחידה של הגרף עם שני הצירים.

הכלל: הסימן של הנגזרת קובע את העלייה והירידה. גוזרים שורש של ביטוי לפי $\left(\sqrt{u}\right)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ (כפול הנגזרת הפנימית), ואת $u = \dfrac{x}{x-a}$ גוזרים בכלל המנה.

הנגזרת הפנימית, בכלל המנה:

$u' = \dfrac{1 \cdot (x-a) - x \cdot 1}{(x-a)^2} = \dfrac{-a}{(x-a)^2}$

הנגזרת של $f$:

$f'(x) = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} = \dfrac{-a}{2(x-a)^2\sqrt{\dfrac{x}{x-a}}}$

הנגזרת מוגדרת עבור $x < 0$ ועבור $x > a$ (בנקודה $x = 0$ השורש שבמכנה מתאפס). המונה $-a$ שלילי והמכנה חיובי, ולכן:

$f'(x) < 0$

טבלת הסימנים:

הפונקציה יורדת בכל אחד משני חלקי התחום:

$x \le 0, \quad x > a$

הנגזרת אינה מתאפסת אף פעם, ולכן אין נקודות קיצון פנימיות.

בקצה התחום $x = 0$ הפונקציה מגיעה לערך $f(0) = 0$, והיא יורדת עד אליו. לכן נקודת מינימום (קיצון קצה):

$(0,\,0)$

הכלל: נקודה נמצאת על גרף הפונקציה כאשר הצבת שיעור $x$ שלה בפונקציה נותנת את שיעור $y$ שלה. מציבים ופותרים משוואה שבה הנעלם הוא $a$.

מציבים $x = -2$:

$f(-2) = \sqrt{\dfrac{-2}{-2-a}} = \sqrt{\dfrac{2}{2+a}}$

משווים ל $0.5$ ומעלים בריבוע (שני האגפים חיוביים):

$\sqrt{\dfrac{2}{2+a}} = 0.5 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{2}{2+a} = 0.25$

פותרים:

$2 = 0.25(2+a) \quad\Rightarrow\quad 8 = 2 + a \quad\Rightarrow\quad a = 6$

הערך מקיים את התנאי $a > 0$, והנקודה $x = -2$ אכן בתחום $x \le 0$.

הכלל: סקיצה בונים מהממצאים של החקירה: תחום ההגדרה, האסימפטוטות, נקודות החיתוך ותחומי העלייה והירידה. כדי לדעת מאיזה צד הגרף מתקרב לאסימפטוטה האופקית, משווים את הביטוי שמתחת לשורש ל $1$.

הממצאים עבור $a = 6$ (סעיפים א–ב): התחום $x \le 0$ או $x > 6$, האסימפטוטות $x = 6$ ו $y = 1$, ירידה בשני החלקים, ומינימום הקצה $(0,\,0)$.

כותבים את הביטוי שמתחת לשורש בצורה אחרת:

$\dfrac{x}{x-6} = \dfrac{(x-6) + 6}{x-6} = 1 + \dfrac{6}{x-6}$

בחלק השמאלי $x - 6 < 0$, ולכן הביטוי קטן מ $1$ והגרף מתחת לאסימפטוטה:

$0 \le f(x) < 1$

בחלק הימני $x - 6 > 0$, ולכן הביטוי גדול מ $1$ והגרף מעל לאסימפטוטה:

$f(x) > 1$

הסקיצה: החלק השמאלי יורד מהגובה $y = 1$ (כאשר $x \to -\infty$) אל המינימום $(0,\,0)$, והחלק הימני יורד מ $+\infty$ (כאשר $x \to 6^{+}$) אל הגובה $y = 1$.

הכלל: שטח בין גרף לציר $x$ הוא האינטגרל של הפונקציה כשהיא חיובית, ומינוס האינטגרל כשהיא שלילית. לפני האינטגרל מציבים את $f$ ואת $f'$ ומצמצמים את השורש, וכך מתקבלת פונקציה מהצורה $(x-6)^{-2}$.

מציבים את $f$ ואת $f'$ מסעיף ב, עם $a = 6$:

$g(x) = \sqrt{\dfrac{x}{x-6}} \cdot \dfrac{-6}{2(x-6)^2\sqrt{\dfrac{x}{x-6}}}$

השורש מצטמצם:

$g(x) = \dfrac{-6}{2(x-6)^2} = \dfrac{-3}{(x-6)^2}$

בתחום $8 \le x \le 12$ המונה שלילי והמכנה חיובי, ולכן $g(x) < 0$ והשטח הוא מינוס האינטגרל:

$S = -\int_{8}^{12} g(x)\,dx = \int_{8}^{12} \dfrac{3}{(x-6)^2}\,dx$

פונקציה קדומה:

$\int 3(x-6)^{-2}\,dx = 3 \cdot \dfrac{(x-6)^{-1}}{-1} = -\dfrac{3}{x-6}$

מציבים את הגבולות:

$S = \left[-\dfrac{3}{x-6}\right]_{8}^{12} = -\dfrac{3}{6} - \left(-\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} = 1$