מתכונת א

הכלל: "האם בלתי תלויים" נבדק רק בחישוב, לפי המבחן $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$: מכפילים את שתי ההסתברויות הנפרדות ומשווים לחיתוך הנתון.

מסמנים ורושמים את הנתונים: $P(A) = 0.6$ (פיזיקה), $P(B) = 0.75$ (מדעי המחשב), $P(A \cap B) = 0.5$.

מכפילים את ההסתברויות הנפרדות: $P(A) \cdot P(B) = 0.6 \cdot 0.75 = 0.45$.

משווים לחיתוך הנתון: $0.45 \ne 0.5$.

המכפלה אינה שווה לחיתוך, ולכן המאורעות אינם בלתי תלויים.

הכלל: "בדיוק אחד משני המקצועות" מוציא במפורש את מי שלומד את שניהם, ולכן מחברים את שני החלקים הבלעדיים: $\left[P(A) - P(A \cap B)\right] + \left[P(B) - P(A \cap B)\right]$.

פיזיקה בלבד: $P(A) - P(A \cap B) = 0.6 - 0.5 = 0.1$.

מדעי המחשב בלבד: $P(B) - P(A \cap B) = 0.75 - 0.5 = 0.25$.

מחברים את שני החלקים: $0.1 + 0.25 = 0.35$.

הכלל: "ידוע שהוא לומד לפחות אחד" הוא תנאי ולא שאלה, ולכן הסתברות מותנית $P(A \mid A \cup B) = \dfrac{P\left(A \cap (A \cup B)\right)}{P(A \cup B)}$: כל לומד פיזיקה כלול ממילא באיחוד, ולכן המונה מצטמצם ל $P(A)$.

מחשבים את המכנה בנוסחת האיחוד: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

מציבים: $0.6 + 0.75 - 0.5 = 0.85$.

המונה, לומד פיזיקה: $P(A) = 0.6$.

מחלקים ומצמצמים: $\dfrac{0.6}{0.85} = \dfrac{60}{85} = \dfrac{12}{17} \approx 0.7059$.

הכלל: בוחרים 5 תלמידים מתוך אוכלוסייה מצומצמת ושואלים "בדיוק 3", ולכן ברנולי $P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$, כאשר $p$ היא ההסתברות המותנית מסעיף ג ולא $0.6$.

מזהים את הנתונים: $n = 5$, $k = 3$, $p = \dfrac{12}{17}$, $1 - p = \dfrac{5}{17}$.

מספר הדרכים לבחור אילו שלושה מהחמישה לומדים פיזיקה: $\binom{5}{3} = 10$.

מציבים בנוסחה: $10 \cdot \left(\dfrac{12}{17}\right)^3 \cdot \left(\dfrac{5}{17}\right)^2$.

מחשבים את החזקה הראשונה: $\left(\dfrac{12}{17}\right)^3 = \dfrac{1728}{4913}$.

מחשבים את החזקה השנייה: $\left(\dfrac{5}{17}\right)^2 = \dfrac{25}{289}$.

מכפילים: $10 \cdot \dfrac{1728 \cdot 25}{4913 \cdot 289} = \dfrac{432000}{1419857}$.

מחשבים במחשבון: $\dfrac{432000}{1419857} \approx 0.304$.