מתכונת ב

הכלל: נקודות החיתוך של שני גרפים מוצאים בהשוואת הפונקציות, $f(x)=g(x)$, ואחר כך מציבים כל פתרון באחת הפונקציות.

נקודות החיתוך: $(0,\,0)$, וגם $P(3,\,9)$

הכלל: אורך קטע המקביל לציר $y$ הוא הפרש שיעורי $y$ של קצותיו, הגבוה פחות הנמוך.

שיעורי הנקודות: $A\left(t,\,6t-t^2\right)$, $B\left(t,\,t^2\right)$, כאשר $0<t<3$

בדיקה בנקודה $t=1$: $g(1)=5>1=f(1)$, ולכן $A$ מעל $B$.

הכלל: שטח משולש הוא חצי מכפלת בסיס בגובה. הבסיס הוא $AB$, והוא אנכי, ולכן הגובה מהקודקוד $P$ הוא המרחק האופקי מהנקודה $P$ אל הישר $AB$.

הגובה: $x_P-t=3-t$

גורם משותף: $6t-2t^2=2t(3-t)$

$S(t)=\dfrac{2t(3-t)(3-t)}{2}=t(3-t)^2$ מש״ל

הכלל: את המקסימום של פונקציית המטרה מוצאים באיפוס הנגזרת ובודקים בטבלת סימנים. גוזרים לפי כלל המכפלה $(uv)'=u'v+uv'$.

הנגזרת של $v$, כפול הנגזרת הפנימית $(-1)$: $v=(3-t)^2\quad\Rightarrow\quad v'=2(3-t)\cdot(-1)=-2(3-t)$

גורם משותף: $S'(t)=(3-t)(3-t-2t)=(3-t)(3-3t)$

מאפסים: $3-3t=0\quad\Rightarrow\quad t=1$

הפתרון $t=3$ אינו בתחום $0<t<3$.

טבלת הסימנים:

הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית, ולכן בנקודה $t=1$ שטח המשולש מקסימלי.

הכלל: השטח המקסימלי מתקבל מהצבת הערך של $t$ מסעיף ד בפונקציית השטח $S(t)$ מסעיף ג.

בדיקה, הבסיס: $AB=6\cdot 1-2\cdot 1^2=4$

הגובה: $3-1=2$

המשולש בעל השטח המקסימלי: