מתכונת ב

הכלל: נוסחת האיבר הכללי בסדרה חשבונית היא $a_n=a_1+(n-1)d$. נתונים שני איברים, ולכן מחסירים משוואה ממשוואה: האיבר $a_1$ מצטמצם ונשארת משוואה בהפרש בלבד.

מחסירים את המשוואה הראשונה מהשנייה: $7d=21\quad\Rightarrow\quad d=3$

מציבים במשוואה הראשונה: $a_1+4\cdot 3=17\quad\Rightarrow\quad a_1=5$

הכלל: סכום של $n$ איברים ראשונים בסדרה חשבונית הוא $S_n=\dfrac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}$. בסדרה $40$ איברים, ולכן צריך את האיבר הראשון ואת האיבר האחרון.

האיבר האחרון: $a_{40}=a_1+39d=5+39\cdot 3=122$

הכלל: האיברים במקומות הזוגיים, $a_2,a_4,\ldots,a_{40}$, יוצרים סדרה חשבונית חדשה שהפרשה $2d$. מוצאים את מספר האיברים בה, את הראשון ואת האחרון, ומציבים בנוסחת הסכום.

מספר האיברים (המקומות $2,4,\ldots,40$): $\dfrac{40}{2}=20$

האיבר הראשון: $a_2=a_1+d=5+3=8$

האיבר האחרון: $a_{40}=122$

הסכום: $\dfrac{20\cdot(8+122)}{2}=10\cdot 130=1300$

הכלל: סדרה היא חשבונית אם ההפרש בין כל איבר לאיבר שלפניו, $b_{n+1}-b_n$, הוא מספר קבוע שאינו תלוי במקום $n$.

בין האיברים $a_n$ וגם $a_{n+2}$ יש שני הפרשים: $a_{n+2}-a_n=2d=2\cdot 3=6$

ההפרש קבוע ואינו תלוי במקום $n$, ולכן $b_n$ היא סדרה חשבונית. מש״ל

הכלל: סכום $k$ האיברים הראשונים בסדרה חשבונית הוא $S_k=\dfrac{k\left(2a_1+(k-1)d\right)}{2}$. מציבים את הנתונים ומשווים לסכום, ומקבלים משוואה ריבועית במספר האיברים.

מציבים $a_1=5$ וגם $d=3$: $S_k=\dfrac{k\left(10+3(k-1)\right)}{2}=\dfrac{k(3k+7)}{2}$

משווים לסכום הנתון: $\dfrac{k(3k+7)}{2}=670\quad\Rightarrow\quad 3k^2+7k-1340=0$

הפתרון $k_2=\dfrac{-7-127}{6}$ שלילי ונפסל, כי $k$ הוא מספר איברים.

בדיקה שבסדרה יש מספיק איברים: $20\le 40$ ✓