מתכונת ב

הכלל: טענה "לכל $n$ טבעי" על סכום שאיבריו נבנים לפי מקומם מוכיחים באינדוקציה: בודקים עבור $n=1$, מניחים עבור $n=k$, ומראים שמכך נובעת הטענה עבור $n=k+1$.

בדיקה עבור $n=1$, אגף שמאל: $\dfrac{1}{1\cdot 4}=\dfrac14$

אגף ימין: $\dfrac{1}{3\cdot 1+1}=\dfrac14$ ✓

הנחה, עבור $n=k$:

האיבר ה $(k+1)$ (מציבים $k+1$ במקום $n$ באיבר הכללי): $\dfrac{1}{\big(3(k+1)-2\big)\big(3(k+1)+1\big)}=\dfrac{1}{(3k+1)(3k+4)}$

צריך להוכיח, עבור $n=k+1$:

מחליפים את סכום $k$ האיברים הראשונים לפי ההנחה:

מכנה משותף $(3k+1)(3k+4)$:

פירוק המונה לגורמים: $3k^2+4k+1=(3k+1)(k+1)$

מצמצמים ב $(3k+1)$:

זה בדיוק אגף ימין עבור $n=k+1$.

הטענה נכונה עבור $n=1$, ומנכונותה עבור $n=k$ נובעת נכונותה עבור $n=k+1$. לכן היא נכונה לכל $n$ טבעי. מש״ל

הכלל: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה, ולכן $CD$ הוא גובה ליתר במשולש ישר זווית. את אורכו מוצאים ממשולשים דומים, ואז הוא הגובה לצלע $AB$ בנוסחת שטח המשולש.

זווית היקפית הנשענת על הקוטר $AB$: $\angle ACB=90^\circ$

נסמן: $\angle CAB=\alpha$

במשולש $ADC$, ישר הזווית בקודקוד $D$: $\angle ACD=90^\circ-\alpha$

במשולש $ABC$, ישר הזווית בקודקוד $C$: $\angle CBA=90^\circ-\alpha$

במשולשים $ADC$ וגם $CDB$: $\angle ADC=\angle CDB=90^\circ$

וגם: $\angle ACD=\angle CBD=90^\circ-\alpha$

לכן לפי ז.ז: $\triangle ADC\sim\triangle CDB$

יחס הדמיון בין צלעות מתאימות: $\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{CD}{DB}$

כפל בהצלבה: $CD^2=AD\cdot DB=4\cdot 9=36\quad\Rightarrow\quad CD=6$

הבסיס: $AB=AD+DB=4+9=13$

שטח המשולש $ABC$, עם הגובה $CD$ לצלע $AB$: $S_{\triangle ABC}=\dfrac{AB\cdot CD}{2}=\dfrac{13\cdot 6}{2}=39$

הנתונים שמצאנו על הסרטוט:

הכלל: סימן הנגזרת קובע את כיוון הפונקציה: כאשר $f'(x)>0$ הפונקציה עולה, וכאשר $f'(x)<0$ היא יורדת. נקודת קיצון היא נקודה שבה $f'(x)=0$ והנגזרת מחליפה בה סימן; נקודת פיתול היא נקודה שבה הנגזרת השנייה מחליפה סימן.

סעיף (1). הנגזרת מתאפסת בנקודות החיתוך של הגרף עם ציר $x$: $x=-3$, $x=0$, $x=3$

קוראים מהגרף את הסימן של $f'(x)$ בכל תחום ומסכמים בטבלה:

תחומי עלייה: $-3<x<0$, וגם $x>3$

תחומי ירידה: $x<-3$, וגם $0<x<3$

בנקודות $x=-3$ וגם $x=3$ הנגזרת עוברת משלילית לחיובית, ולכן אלה נקודות מינימום.

בנקודה $x=0$ הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית, ולכן זו נקודת מקסימום.

סעיף (2). הנגזרת השנייה $f''(x)$ היא הנגזרת של $f'(x)$, ולכן היא מחליפה סימן בדיוק בנקודות שבהן הגרף של $f'(x)$ עובר מעלייה לירידה או מירידה לעלייה.

לגרף של $f'(x)$ יש בסרטוט שתי נקודות קיצון: מקסימום בין $x=-3$ לבין $x=0$, ומינימום בין $x=0$ לבין $x=3$.

לכן לפונקציה $f(x)$ יש $2$ נקודות פיתול.

הכלל: פונקציה מתוך הנגזרת שלה מוצאים באינטגרל לא מסוים, $f(x)=\int f'(x)\,dx$, והנקודה הנתונה קובעת את הקבוע $C$. את הקיצון מוצאים מאיפוס הנגזרת ומטבלת סימנים.

סעיף (1). כותבים את הנגזרת כחזקות: $f'(x)=2x-16x^{-2}$

פונקציה קדומה לכל איבר: $f(x)=x^2-16\cdot\dfrac{x^{-1}}{-1}+C=x^2+\dfrac{16}{x}+C$

מציבים את הנקודה $(1,\,10)$: $1^2+\dfrac{16}{1}+C=10$

לכן: $f(x)=x^2+\dfrac{16}{x}-7$

סעיף (2). מאפסים את הנגזרת: $2x-\dfrac{16}{x^2}=0$

כופלים במכנה $x^2$, שאינו אפס בתחום: $2x^3-16=0$

טבלת הסימנים של $f'(x)$:

שיעור $y$ של הנקודה: $f(2)=2^2+\dfrac{16}{2}-7=4+8-7=5$

הנגזרת עוברת משלילית לחיובית, ולכן $(2,\,5)$ היא נקודת מינימום.