מתכונת ב

הכלל: ההגשות בלתי תלויות, ולכן ההסתברות לשני כישלונות רצופים היא מכפלת ההסתברויות לכישלון בכל הגשה: $(1-p)\cdot(1-p)$.

משוואה: $(1-p)^2=0.04$

הפתרון השלילי $1-p=-0.2$ נפסל, כי הסתברות אינה שלילית.

בדיקה בעץ ההסתברויות של שתי הגשות, עם המסלול של שני כישלונות מסומן:

הכלל: "ההגשה הראשונה שנכשלת היא השלישית" מתאר רצף אחד של תוצאות בסדר קבוע. ההגשות בלתי תלויות, ולכן כופלים את ההסתברויות לאורך הרצף.

הרצף: הצלחה, ואחריה הצלחה, ואחריה כישלון.

הכלל: $5$ הגשות זהות ובלתי תלויות, ושואלים על מספר ההצלחות, ולכן נוסחת ברנולי $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}$. "לפחות $4$" הוא הסכום של המקרים $k=4$ וגם $k=5$.

הנתונים: $n=5$, $p=0.8$, $1-p=0.2$

בדיוק $4$ הצלחות: $P(X=4)=\binom{5}{4}\cdot 0.8^4\cdot 0.2=5\cdot 0.4096\cdot 0.2=0.4096$

בדיוק $5$ הצלחות: $P(X=5)=\binom{5}{5}\cdot 0.8^5\cdot 0.2^0=0.32768$

מחברים: $P(X\ge 4)=0.4096+0.32768=0.73728$

הכלל: "ידוע שלפחות $4$ הצליחו" הוא תנאי, ולכן הסתברות מותנית $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$, כאשר $B$ הוא המאורע "לפחות $4$ הצלחות" וגם $A$ הוא המאורע "$5$ הצלחות".

המכנה, מסעיף ג: $P(B)=0.73728$

כל מקרה של $5$ הצלחות נמצא בתוך המאורע $B$, ולכן: $P(A\cap B)=P(X=5)=0.32768$

מוציאים גורם משותף $0.8^4$ מהמונה ומהמכנה: $\dfrac{0.8^4\cdot 0.8}{0.8^4\cdot(5\cdot 0.2+0.8)}=\dfrac{0.8}{1.8}=\dfrac{4}{9}$