מתכונת ב

הכלל: שבר מוגדר רק כאשר המכנה שלו אינו מתאפס, ולכן מוציאים מהתחום את הערכים שמאפסים את המכנה.

מאפסים את המכנה: $x^2-4=0\quad\Rightarrow\quad x^2=4\quad\Rightarrow\quad x=\pm 2$

תחום ההגדרה: $x\neq 2$, $x\neq -2$

הכלל: אסימפטוטה אנכית נמצאת בערך שבו המכנה מתאפס והמונה אינו מתאפס. אסימפטוטה אופקית היא המספר שאליו הפונקציה שואפת כאשר $x\to\pm\infty$.

המונה בנקודות שבהן המכנה מתאפס: $(\pm 2)^2+4=8\neq 0$

לכן אסימפטוטות אנכיות: $x=2$, $x=-2$

מחלקים מונה ומכנה בביטוי $x^2$: $f(x)=\dfrac{1+\frac{4}{x^2}}{1-\frac{4}{x^2}}$

אסימפטוטה אופקית: $y=1$

הכלל: כלל המנה $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ נותן את הנגזרת. אחר כך מאפסים אותה ובונים טבלת סימנים, שממנה קוראים עלייה, ירידה וסוג הקיצון.

פותחים סוגריים במונה: $2x^3-8x-2x^3-8x=-16x$

לכן: $f'(x)=\dfrac{-16x}{\left(x^2-4\right)^2}$

מאפסים את הנגזרת: $-16x=0\quad\Rightarrow\quad x=0$

טבלת הסימנים:

שיעור $y$ של הנקודה: $f(0)=\dfrac{0+4}{0-4}=-1$

עולה: $x<-2$, וגם $-2<x<0$

יורדת: $0<x<2$, וגם $x>2$

הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית, ולכן $(0,\,-1)$ היא נקודת מקסימום.

הכלל: את הסקיצה בונים מהממצאים של הסעיפים הקודמים: תחום ההגדרה, האסימפטוטות, נקודת הקיצון ותחומי העלייה והירידה, ומוסיפים את נקודות החיתוך עם הצירים.

אין חיתוך עם ציר $x$: המונה מקיים $x^2+4>0$ לכל $x$.

חיתוך עם ציר $y$: $(0,\,-1)$, וזו גם נקודת המקסימום.

בתחום $-2<x<2$ המונה חיובי והמכנה שלילי, ולכן שם $f(x)<0$.

בתחום הזה, ליד שתי האסימפטוטות האנכיות, הגרף יורד אל $-\infty$.

בתחומים $x<-2$ וגם $x>2$: $f(x)-1=\dfrac{8}{x^2-4}>0$

שם הגרף מעל האסימפטוטה $y=1$ ומתקרב אליה מלמעלה.

הסקיצה:

הכלל: הפונקציה $f(x)$ היא פונקציה קדומה של $f'(x)$, ולכן $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$. בתחום שבו $f'(x)<0$ הגרף מתחת לציר $x$, והשטח הוא הערך המוחלט של האינטגרל.

מסעיף ג, בתחום $0<x<1$: $f'(x)<0$

השטח הוא הערך המוחלט: $S=\dfrac{2}{3}$

השטח המבוקש, בין גרף הנגזרת לבין ציר $x$: