מתכונת ב

הכלל: מפרקים לגורמים בעזרת הזהות $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ (זהות היא שוויון שנכון לכל ערך של $x$). חיתוך עם ציר $y$ מוצאים בהצבת $x=0$, וחיתוך עם ציר $x$ מאיפוס הפונקציה.

גורם משותף: $f(x)=\sin(x)\left(1-\cos(x)\right)$

חיתוך עם ציר $y$: $f(0)=\sin(0)\left(1-\cos(0)\right)=0$

חיתוך עם ציר $x$, הגורם הראשון: $\sin(x)=0\quad\Rightarrow\quad x=0,\;\pi,\;2\pi$

הגורם השני: $1-\cos(x)=0\quad\Rightarrow\quad x=0,\;2\pi$

נקודות החיתוך: $(0,\,0)$, $(\pi,\,0)$, $(2\pi,\,0)$

הכלל: גוזרים כל איבר בנפרד, ובאיבר $\sin(2x)$ כופלים בנגזרת הפנימית $2$. אחר כך מבטאים הכול באמצעות $\cos(x)$ בעזרת הזהות $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$, ומפרקים לגורמים.

נסמן $t=\cos(x)$. שורשי הטרינום: $2t^2-t-1=0\quad\Rightarrow\quad t_1=1,\;\; t_2=-\dfrac12$

פירוק לגורמים: $-2t^2+t+1=-2(t-1)\left(t+\dfrac12\right)=-(2t+1)(t-1)$

מחזירים $t=\cos(x)$: $f'(x)=-\left(2\cos(x)+1\right)\left(\cos(x)-1\right)$ מש״ל

הכלל: מאפסים את הנגזרת מסעיף ב ובונים טבלת סימנים. בתחום סגור בודקים גם את נקודות הקצה.

כותבים את הנגזרת כך: $f'(x)=\left(2\cos(x)+1\right)\left(1-\cos(x)\right)$

הגורם השני מתאפס רק בנקודות הקצה: $1-\cos(x)=0\quad\Rightarrow\quad x=0,\;2\pi$

הגורם $1-\cos(x)$ אינו שלילי, ולכן הסימן של $f'(x)$ הוא הסימן של $2\cos(x)+1$:

מקסימום: $\left(\dfrac{2\pi}{3},\,\dfrac{3\sqrt3}{4}\right)$

מינימום: $\left(\dfrac{4\pi}{3},\,-\dfrac{3\sqrt3}{4}\right)$

בקצה $x=0$ הערך הוא $f(0)=0$, והפונקציה עולה מימין לו, ולכן $(0,\,0)$ היא נקודת מינימום בקצה התחום.

בקצה $x=2\pi$ הערך הוא $f(2\pi)=0$, והפונקציה עולה אליו, ולכן $(2\pi,\,0)$ היא נקודת מקסימום בקצה התחום.

הכלל: את הסקיצה בונים מהממצאים של הסעיפים הקודמים: נקודות החיתוך, נקודות הקיצון (כולל נקודות הקצה) ותחומי העלייה והירידה.

עולה: $0<x<\dfrac{2\pi}{3}$

יורדת: $\dfrac{2\pi}{3}<x<\dfrac{4\pi}{3}$

עולה: $\dfrac{4\pi}{3}<x<2\pi$

הגרף עובר דרך נקודות החיתוך: $(0,\,0)$, $(\pi,\,0)$, $(2\pi,\,0)$

הסקיצה:

הכלל: הגרף מעל ציר $x$ בתחום $0\le x\le\pi$, ולכן השטח הוא האינטגרל המסוים $\int_0^{\pi}f(x)\,dx$. באיבר $\sin(2x)$ מחלקים בנגזרת הפנימית $2$.

בתחום $0\le x\le\pi$ שני הגורמים $\sin(x)$ וגם $1-\cos(x)$ אינם שליליים, ולכן הגרף מעל ציר $x$.

פונקציה קדומה: $F(x)=-\cos(x)-\dfrac12\cdot\left(-\dfrac12\cos(2x)\right)=-\cos(x)+\dfrac14\cos(2x)$

השטח המבוקש: