מתכונת א

הכלל: שטח טרפז הוא סכום הבסיסים כפול הגובה, חלקי $2$. כאן הבסיסים הם הקטעים האנכיים $AB$ ו $DC$, והגובה הוא המרחק האופקי ביניהם, $BC$.

שיעורי הנקודות: $A\left(t,\, \sqrt{t}\right)$, $B(t,\, 0)$

הבסיס $AB$ הוא שיעור $y$ של $A$: $AB = \sqrt{t}$

הבסיס $DC$: $DC = 3 - 0 = 3$

הגובה: $BC = 9 - t$

השטח: $S(t) = \dfrac{(AB + DC) \cdot BC}{2} = \dfrac{\left(\sqrt{t} + 3\right)(9 - t)}{2}$. מש״ל

הכלל: ערך מקסימלי של פונקציית המטרה מתקבל בנקודה שבה הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן מחיובי לשלילי. פותחים סוגריים לפני הגזירה, וגוזרים את השורש לפי $\left(\sqrt{t}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{t}}$.

פותחים סוגריים: $(9 - t)\left(\sqrt{t} + 3\right) = 9\sqrt{t} + 27 - t\sqrt{t} - 3t$

לכן: $S(t) = \dfrac{1}{2}\left(9\sqrt{t} + 27 - t\sqrt{t} - 3t\right)$

כותבים $t\sqrt{t} = t^{1.5}$, ונגזרתו: $\left(t^{1.5}\right)' = 1.5\sqrt{t}$

גוזרים: $S'(t) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{9}{2\sqrt{t}} - 1.5\sqrt{t} - 3\right)$

משווים לאפס: $\dfrac{9}{2\sqrt{t}} - 1.5\sqrt{t} - 3 = 0$

כופלים ב $2\sqrt{t}$, שהוא חיובי: $9 - 3t - 6\sqrt{t} = 0$

מחלקים ב $(-3)$: $t + 2\sqrt{t} - 3 = 0$

מסמנים $u = \sqrt{t}$, כאשר $u > 0$: $u^2 + 2u - 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad (u + 3)(u - 1) = 0$

הפתרון $u = -3$ נפסל כי $u = \sqrt{t} > 0$. לכן: $u = 1 \quad\Rightarrow\quad t = 1$

טבלת הסימנים:

הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית, ולכן בנקודה $t = 1$ שטח הטרפז מקסימלי.

הכלל: השטח המקסימלי הוא ערך פונקציית המטרה בנקודת המקסימום: מציבים את הערך של $t$ מסעיף ב בביטוי של $S(t)$ מסעיף א.

מציבים: $S(1) = \dfrac{(9 - 1)\left(\sqrt{1} + 3\right)}{2}$

מחשבים: $S(1) = \dfrac{8 \cdot 4}{2} = 16$

במקרה זה $A(1,\,1)$, והטרפז הוא: $AB = 1$, $DC = 3$, $BC = 8$.

הסרטוט עם הטרפז המקסימלי: