מתכונת א

הכלל: פונקציית מנה אינה מוגדרת היכן שהמכנה מתאפס. אסימפטוטה אנכית נמצאת בנקודה שבה המכנה מתאפס והמונה לא; אסימפטוטה אופקית נקבעת לפי החזקות הגבוהות במונה ובמכנה כאשר $x \to \pm\infty$.

המכנה מתאפס: $x^3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0$

תחום ההגדרה: $x \ne 0$

בנקודה $x = 0$ המונה שווה $2 \cdot 0 - 2 = -2 \ne 0$, ולכן $x = 0$ היא אסימפטוטה אנכית.

החזקה הגבוהה במכנה ($x^3$) גדולה מהחזקה הגבוהה במונה ($x$), ולכן כאשר $x \to \pm\infty$ הפונקציה שואפת לאפס: אסימפטוטה אופקית $y = 0$.

הכלל: נגזרת של מנה: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$. נקודת קיצון נמצאת היכן שהנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן, וסוגה נקבע בטבלת סימנים.

מסמנים: $u = 2x - 2$, $u' = 2$, $v = x^3$, $v' = 3x^2$

מציבים: $f'(x) = \dfrac{2 \cdot x^3 - (2x - 2) \cdot 3x^2}{x^6}$

גורם משותף $x^2$ במונה: $f'(x) = \dfrac{x^2\big(2x - 3(2x - 2)\big)}{x^6}$

מצמצמים ב $x^2$: $f'(x) = \dfrac{2x - 3(2x - 2)}{x^4}$

פותחים סוגריים ומכנסים: $f'(x) = \dfrac{2x - 6x + 6}{x^4} = \dfrac{6 - 4x}{x^4}$

משווים את המונה לאפס: $6 - 4x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 1.5$

טבלת הסימנים:

ערך הפונקציה: $f(1.5) = \dfrac{2 \cdot 1.5 - 2}{1.5^3} = \dfrac{1}{3.375} = \dfrac{8}{27}$

הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית, ולכן $\left(1.5,\, \dfrac{8}{27}\right)$ היא נקודת מקסימום. מהטבלה גם: $f$ עולה בתחום $x < 0$ ובתחום $0 < x < 1.5$, ויורדת בתחום $x > 1.5$.

הכלל: סקיצה נבנית מכל מה שמצאנו: תחום ההגדרה, האסימפטוטות, נקודות החיתוך עם הצירים, נקודת הקיצון ותחומי העלייה והירידה.

חיתוך עם ציר $x$ (המונה מתאפס): $2x - 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 1$, כלומר הנקודה $(1,\,0)$.

אין חיתוך עם ציר $y$, כי $x = 0$ מחוץ לתחום ההגדרה.

סימן הפונקציה בתחום $x < 0$: המונה $2x - 2$ שלילי וגם המכנה $x^3$ שלילי, ולכן שם $f(x) > 0$.

בתחום $x < 0$ הגרף חיובי: הוא עולה מהאסימפטוטה $y = 0$ ושואף לאינסוף כאשר $x$ מתקרב לאפס משמאל.

בתחום $x > 0$ הגרף מגיע ממינוס אינסוף ליד $x = 0$, עולה דרך $(1,\,0)$ עד המקסימום $\left(1.5,\, \dfrac{8}{27}\right)$, ואחר כך יורד ומתקרב לאסימפטוטה $y = 0$ מלמעלה.

הסקיצה:

הכלל: מספר הנקודות המשותפות לישר אופקי $y = k$ ולגרף הוא מספר הפעמים שהפונקציה מקבלת את הערך $k$. קוראים אותו מהסקיצה, לפי טווח הערכים של כל חלק בגרף.

החלק השמאלי ($x < 0$) עולה מ $0$ אל אינסוף: הוא מקבל כל ערך חיובי בדיוק פעם אחת, ואינו מקבל ערך שלילי או אפס.

החלק הימני בתחום $0 < x < 1$ עולה ממינוס אינסוף אל $0$: הוא מקבל כל ערך שלילי בדיוק פעם אחת.

החלק הימני בתחום $x > 1$ עולה מ $0$ עד המקסימום $\dfrac{8}{27}$ ויורד חזרה אל $0$: כל ערך בין $0$ לבין $\dfrac{8}{27}$ מתקבל בו פעמיים, והערך $\dfrac{8}{27}$ פעם אחת.

סופרים: עבור $k \le 0$ יש נקודה משותפת אחת, עבור $0 < k < \dfrac{8}{27}$ שלוש נקודות, ועבור $k > \dfrac{8}{27}$ נקודה אחת.

רק עבור $k = \dfrac{8}{27}$ יש בדיוק שתי נקודות משותפות: אחת בחלק השמאלי, ואחת בנקודת המקסימום.

הכלל: שטח בין גרף שמעל ציר $x$ לבין הציר הוא האינטגרל המסוים של הפונקציה בין הגבולות. מפרקים את המנה לסכום חזקות של $x$, ומשתמשים בנוסחה $\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.

בתחום $1 \le x \le 3$ מתקיים $f(x) \ge 0$ (מהסקיצה), ולכן: $S = \int_1^3 \dfrac{2x - 2}{x^3}\,dx$

מפרקים את המנה: $\dfrac{2x - 2}{x^3} = \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{2}{x^3} = 2x^{-2} - 2x^{-3}$

פונקציה קדומה: $\dfrac{2x^{-1}}{-1} - \dfrac{2x^{-2}}{-2} = -\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2}$

מציבים את הגבולות: $S = \left(-\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{9}\right) - \left(-\dfrac{2}{1} + \dfrac{1}{1}\right)$

מחשבים: $S = -\dfrac{5}{9} - (-1) = \dfrac{4}{9}$

השטח בסרטוט: