מתכונת א

הכלל: מנה מוגדרת כאשר המכנה שונה מאפס; אסימפטוטה אנכית נמצאת היכן שהמכנה מתאפס והפונקציה שואפת לאינסוף.

(1) המכנה מתאפס בקטע $0 \le x \le \pi$ רק בקצוות:

$\sin(x) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0, \; x = \pi$

שתי הנקודות האלה הן קצות התחום ואינן שייכות לו. בתוך התחום $\sin(x) > 0$, ולכן $f(x)$ מוגדרת לכל $0 < x < \pi$.

כאשר $x \to 0^{+}$ או $x \to \pi^{-}$: $\sin(x) \to 0^{+} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{1}{\sin(x)} \to +\infty$

לכן האסימפטוטות האנכיות: $x = 0$ וגם $x = \pi$

(2) בתחום: $\sin(x) > 0 \quad\Rightarrow\quad 4\sin(x) > 0, \;\; \dfrac{1}{\sin(x)} > 0$

סכום של שני מספרים חיוביים חיובי, ולכן $f(x) > 0$ בכל התחום, והגרף אינו חותך את ציר $x$.

הכלל: גוזרים כל מחובר (את $\dfrac{1}{\sin(x)}$ כמנה); נקודות הקיצון נמצאות היכן שהנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן, ואת הסוג קובעים בטבלת סימנים.

נגזרת המחובר הראשון: $\big(4\sin(x)\big)' = 4\cos(x)$

נגזרת המחובר השני: $\left(\dfrac{1}{\sin(x)}\right)' = \dfrac{0 \cdot \sin(x) - 1 \cdot \cos(x)}{\sin^2(x)} = -\dfrac{\cos(x)}{\sin^2(x)}$

מכנה משותף: $f'(x) = \dfrac{4\cos(x)\sin^2(x) - \cos(x)}{\sin^2(x)}$

גורם משותף: $f'(x) = \dfrac{\cos(x)\left(4\sin^2(x) - 1\right)}{\sin^2(x)}$

גורם ראשון: $\cos(x) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{\pi}{2}$

גורם שני: $4\sin^2(x) = 1 \quad\Rightarrow\quad \sin(x) = \dfrac12 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{\pi}{6}, \; x = \dfrac{5\pi}{6}$

את $\sin(x) = -\dfrac12$ פוסלים: בתחום $\sin(x) > 0$.

טבלת הסימנים (המכנה $\sin^2(x)$ חיובי):

לפי הטבלה: מינימום בנקודות $\left(\dfrac{\pi}{6},\, 4\right)$ ו $\left(\dfrac{5\pi}{6},\, 4\right)$, ומקסימום בנקודה $\left(\dfrac{\pi}{2},\, 5\right)$.

הכלל: סקיצה נבנית מהאסימפטוטות, מנקודות הקיצון ומתחומי העלייה והירידה שבטבלת הסימנים.

ליד $x = 0$ הגרף גבוה מאוד, והוא יורד עד המינימום $\left(\dfrac{\pi}{6},\, 4\right)$.

הגרף עולה עד המקסימום $\left(\dfrac{\pi}{2},\, 5\right)$, ויורד עד המינימום $\left(\dfrac{5\pi}{6},\, 4\right)$.

מכאן הגרף עולה, ושואף ל $+\infty$ כאשר $x$ מתקרב ל $\pi$.

הסקיצה:

הכלל: נקודות החיתוך עם ישר אופקי מתקבלות מהשוואת הפונקציה לערכו; משוואה שבה מופיעים $\sin(x)$ ו $\dfrac{1}{\sin(x)}$ הופכת למשוואה ריבועית ב $\sin(x)$ אחרי כפל במכנה.

משוואה: $4\sin(x) + \dfrac{1}{\sin(x)} = 5$

כופלים ב $\sin(x) > 0$: $4\sin^2(x) + 1 = 5\sin(x)$

מעבירים אגף: $4\sin^2(x) - 5\sin(x) + 1 = 0$

נוסחת השורשים: $\sin(x) = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{8} = \dfrac{5 \pm 3}{8}$

הפתרון השני של $\sin(x) = \dfrac14$ בתחום: $x \approx \pi - 0.253 \approx 2.889$

שלוש נקודות משותפות, כצפוי מהסקיצה: בנקודת המקסימום $\left(\dfrac{\pi}{2},\, 5\right)$ הישר משיק לגרף (נוגע בו בלי לחצות אותו), ובין שתי נקודות המינימום הגרף נמצא מתחת לישר. בנוסף הישר חותך פעם אחת את החלק היורד בהתחלה ופעם אחת את החלק העולה בסוף.

הגרף והישר $y = 5$: