מתכונת א

הכלל: הנורה יכולה להגיע משתי מכונות זרות זו לזו, ולכן נוסחת ההסתברות השלמה $P(D) = P(A) \cdot P(D \mid A) + P(B) \cdot P(D \mid B)$: כופלים לאורך כל ענף בעץ, ומחברים את הענפים.

מסמנים: $A$ נורה ממכונה א, $B$ נורה ממכונה ב, $D$ נורה פגומה. זה העץ של השאלה, עם שני מסלולי הפגם מסומנים:

מסלול מכונה א: $P(A) \cdot P(D \mid A) = 0.6 \cdot 0.05 = 0.03$.

מסלול מכונה ב: $P(B) \cdot P(D \mid B) = 0.4 \cdot 0.10 = 0.04$.

מחברים את שני המסלולים: $0.03 + 0.04 = 0.07$.

הכלל: "התגלתה כפגומה" הוא נתון ולא שאלה, ולכן הסתברות מותנית $P(A \mid D) = \dfrac{P(A \cap D)}{P(D)}$: המכנה הוא כלל הנורות הפגומות, ולא כלל הנורות במפעל.

המונה, פגומה שיוצרה במכונה א: $P(A \cap D) = 0.6 \cdot 0.05 = 0.03$.

המכנה, כלל הפגומות מסעיף א: $P(D) = 0.07$.

מחלקים: $\dfrac{0.03}{0.07} = \dfrac{3}{7} \approx 0.4286$.

הכלל: "בדיוק 2 מתוך 4", כשההסתברות זהה בכל בחירה ואין תלות בין הבחירות, ולכן ברנולי $P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$: ההנחה שהכמות גדולה מאוד היא בדיוק מה ששומר על $p$ קבועה.

מזהים את הנתונים: $n = 4$, $k = 2$, $p = 0.07$, $1 - p = 0.93$.

מספר הדרכים לבחור אילו שתיים מהארבע פגומות: $\binom{4}{2} = 6$.

מציבים בנוסחה: $6 \cdot 0.07^2 \cdot 0.93^2$.

מחשבים את החזקה הראשונה: $0.07^2 = 0.0049$.

מחשבים את החזקה השנייה: $0.93^2 = 0.8649$.

מכפילים: $6 \cdot 0.0049 \cdot 0.8649 \approx 0.0254$.

הכלל: שתי נורות ממכונות שונות נבחרות זו בלי תלות בזו, ולכן לכל צירוף כופלים את ההסתברויות; "בדיוק אחת" מורכב משני צירופים זרים, ולכן מחברים אותם.

מסמנים: ההסתברות לפגם בנורה של מכונה א היא $0.05$, ובנורה של מכונה ב היא $0.10$.

ההסתברות שהנורה של מכונה א תקינה: $1 - 0.05 = 0.95$.

ההסתברות שהנורה של מכונה ב תקינה: $1 - 0.10 = 0.90$.

הצירוף הראשון, א פגומה ו־ב תקינה: $0.05 \cdot 0.90 = 0.045$.

הצירוף השני, א תקינה ו־ב פגומה: $0.95 \cdot 0.10 = 0.095$.

מחברים את שני הצירופים: $0.045 + 0.095 = 0.14$.