מתכונת א

הכלל: הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני; ישר שחותך שני ישרים מקבילים יוצר זוויות מתחלפות שוות.

נסמן נקודה $T$ על המשיק, באותו צד של $B$ (ראו סרטוט בסוף הסעיף).

$\angle TAB = \angle ACB$ (זווית בין המשיק למיתר $AB$ שווה לזווית ההיקפית הנשענת על $AB$)

$\angle ABD = \angle TAB$ (זוויות מתחלפות: $BD \parallel AT$, והחותך הוא $AB$)

משני השוויונים: $\angle ABD = \angle ACB$. מש״ל

הסרטוט, עם שלוש הזוויות השוות:

הכלל: שני משולשים שיש להם שתי זוויות שוות בהתאמה הם משולשים דומים (משפט הדמיון ז.ז).

$\angle BAD = \angle CAB$ (זווית משותפת לשני המשולשים, כי $D$ על הצלע $AC$)

$\angle ABD = \angle ACB$ (הוכח בסעיף א)

לכן $\triangle ABD \sim \triangle ACB$ לפי ז.ז. מש״ל

התאמת הקודקודים: $A$ מתאים לקודקוד $A$, $B$ מתאים לקודקוד $C$, ו $D$ מתאים לקודקוד $B$.

הסרטוט, עם הזווית המשותפת ועם הזוויות השוות מסעיף א:

הכלל: במשולשים דומים היחס בין צלעות מתאימות קבוע. מהדמיון בסעיף ב רושמים יחס שבו הצלע $AB$ מופיעה פעמיים, ומקבלים משוואה עבורה.

הצלע $AC$: $AC = AD + DC = 4 + 12 = 16$

מהדמיון $\triangle ABD \sim \triangle ACB$: $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AD}{AB}$

כפל בהצלבה: $AB^2 = AD \cdot AC$

מציבים: $AB^2 = 4 \cdot 16 = 64$

אורך חיובי: $AB = 8$

הסרטוט עם האורכים:

הכלל: היחס בין שטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון.

יחס הדמיון (הצלע $AB$ במשולש $ABD$ מול הצלע המתאימה $AC$ במשולש $ACB$): $k = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2}$

יחס השטחים: $\dfrac{S_{ABD}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$

בדיקה בדרך אחרת: לשני המשולשים אותו גובה מהקודקוד $B$ אל הישר $AC$, ולכן יחס השטחים הוא יחס הבסיסים: $\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4}$

הסרטוט: המשולש $ABD$ בתוך המשולש $ABC$: