מתכונת א

הכלל: משפט הסינוסים המורחב: במשולש החסום במעגל שרדיוסו $R$, היחס בין צלע לבין הסינוס של הזווית שמולה שווה $2R$.

הצלע $BC$ מונחת מול הזווית $\alpha$: $\dfrac{BC}{\sin\alpha} = 2R$

מבודדים: $BC = 2R\sin\alpha$

הסרטוט, עם הצלע $BC$ והזווית שמולה:

הכלל: זווית מרכזית גדולה פי שניים מזווית היקפית הנשענת על אותה קשת; שטח משולש הוא חצי מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן.

הזווית $BOC$ מרכזית והזווית $BAC$ היקפית, ושתיהן נשענות על הקשת $BC$: $\angle BOC = 2\alpha$

במשולש $BOC$ שתי צלעות הן רדיוסים: $OB = OC = R$

נוסחת השטח: $S_{BOC} = \dfrac{1}{2} \cdot OB \cdot OC \cdot \sin(\angle BOC)$

מציבים: $S_{BOC} = \dfrac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \sin(2\alpha) = \dfrac{1}{2}R^2\sin(2\alpha)$

הסרטוט, עם המשולש $BOC$:

הכלל: מציבים את הנתונים בביטוי לשטח מסעיף ב ומקבלים משוואה בסינוס של $2\alpha$. לסינוס חיובי יש במשולש זווית חדה וזווית קהה, והנתון שהזווית $BOC$ חדה בוחר אחת מהן.

מציבים: $\dfrac{1}{2} \cdot 5^2 \cdot \sin(2\alpha) = 12$

הזווית $BOC = 2\alpha$ חדה, ולכן: $2\alpha \approx 73.74^\circ$

מחלקים ב $2$: $\alpha \approx 36.87^\circ$

הסרטוט עם מה שמצאנו:

הכלל: במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות. מוצאים את זווית הבסיס מסכום הזוויות, את אורך השוק ממשפט הסינוסים המורחב, ואת השטח מנוסחת השטח עם הזווית $\alpha$ שבין השוקיים.

זוויות הבסיס: $\angle ABC = \angle ACB = \dfrac{180^\circ - 36.87^\circ}{2} \approx 71.57^\circ$

השוק $AB$ מונחת מול הזווית $ACB$: $AB = 2R\sin(\angle ACB) = 10\sin 71.57^\circ \approx 9.487$

השוקיים שוות: $AC = AB \approx 9.487$

נוסחת השטח: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin\alpha$

מציבים: $S_{ABC} \approx \dfrac{1}{2} \cdot 9.487 \cdot 9.487 \cdot \sin 36.87^\circ \approx 27$

בדיקה בדרך אחרת. הבסיס מסעיף א: $BC = 2 \cdot 5 \cdot \sin 36.87^\circ = 6$

במשולש שווה שוקיים הגובה $AH$ לבסיס עובר דרך המרכז $O$, ו $H$ אמצע $BC$. לפי פיתגורס במשולש $OHC$: $OH = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$

הגובה: $AH = AO + OH = 5 + 4 = 9$

השטח: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 27$

הסרטוט עם הנתונים שמצאנו: