מתכונת א

הכלל: האיבר הכללי בסדרה הנדסית הוא $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$. רושמים את שני הנתונים בעזרתו, ומחלקים משוואה במשוואה כדי שהאיבר הראשון יצטמצם.

הנתון הראשון: $a_2 = a_1 \cdot q = 12$

הנתון השני: $a_5 = a_1 \cdot q^4 = 1.5$

מחלקים את המשוואה השנייה בראשונה: $\dfrac{a_1 \cdot q^4}{a_1 \cdot q} = \dfrac{1.5}{12}$

מצמצמים: $q^3 = \dfrac{1}{8} \quad\Rightarrow\quad q = \dfrac{1}{2}$

מציבים בנתון הראשון: $a_1 \cdot \dfrac{1}{2} = 12 \quad\Rightarrow\quad a_1 = 24$

הכלל: לסדרה הנדסית אין-סופית יש סכום רק כאשר $-1 < q < 1$, והסכום הוא $S = \dfrac{a_1}{1-q}$.

מסעיף א המנה היא: $q = \dfrac{1}{2}$

המנה מקיימת את התנאי, ולכן לסדרה יש סכום: $-1 < \dfrac{1}{2} < 1$

מציבים בנוסחה: $S = \dfrac{24}{1 - \frac{1}{2}}$

מחשבים: $S = \dfrac{24}{\frac{1}{2}} = 48$

הכלל: סדרה היא הנדסית כאשר המנה $\dfrac{b_{n+1}}{b_n}$ קבועה, כלומר אינה תלויה במקום $n$. מבטאים את $b_{n+1}$ ואת $b_n$ באמצעות איברי הסדרה $a_n$ ומצמצמים.

האיבר הבא בסדרה החדשה: $b_{n+1} = a_{n+1} \cdot a_{n+2}$

מחלקים: $\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{a_{n+1} \cdot a_{n+2}}{a_n \cdot a_{n+1}}$

מצמצמים את $a_{n+1}$: $\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{a_{n+2}}{a_n}$

בסדרה הנדסית מתקדמים שני מקומות בכפל ב $q^2$, כלומר $a_{n+2} = a_n \cdot q^2$:

המנה $q^2$ אינה תלויה במקום $n$, ולכן $b_n$ היא סדרה הנדסית. מש״ל

מציבים $q = \dfrac{1}{2}$: $q^2 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$

הכלל: סכום $k$ האיברים הראשונים בסדרה הנדסית הוא $S_k = \dfrac{b_1\left(q^k - 1\right)}{q - 1}$. מחשבים את $b_1$, מציבים את המנה מסעיף ג, ומבודדים את החזקה.

האיבר הראשון: $b_1 = a_1 \cdot a_2 = 24 \cdot 12 = 288$

מציבים בנוסחה, עם המנה $\dfrac{1}{4}$:

מחשבים את המקדם: $\dfrac{288}{\frac{1}{4} - 1} = \dfrac{288}{-\frac{3}{4}} = -384$

המשוואה: $-384\left(\left(\dfrac{1}{4}\right)^k - 1\right) = 382.5$

פותחים סוגריים: $384 - 384 \cdot \left(\dfrac{1}{4}\right)^k = 382.5$

מעבירים אגפים: $384 \cdot \left(\dfrac{1}{4}\right)^k = 1.5$

מחלקים: $\left(\dfrac{1}{4}\right)^k = \dfrac{1.5}{384} = \dfrac{1}{256}$

כותבים את $256$ כחזקה של $4$: $256 = 4^4 \quad\Rightarrow\quad \left(\dfrac{1}{4}\right)^k = \left(\dfrac{1}{4}\right)^4$

משווים מעריכים: $k = 4$

בדיקה בחיבור ישיר: $288 + 72 + 18 + 4.5 = 382.5$