מתכונת א

הכלל: הוכחה באינדוקציה מתמטית: מראים שהטענה נכונה עבור $n = 1$, ומראים שאם היא נכונה עבור $n = k$ אז היא נכונה גם עבור $n = k+1$. כך נובעת נכונותה לכל $n$ טבעי.

בדיקה, אגף שמאל (המחובר הראשון בלבד): $1 \cdot 2 = 2$

בדיקה, אגף ימין: $1^2 \cdot (1+1) = 2$

שני האגפים שווים, ולכן הטענה נכונה עבור $n = 1$.

הנחה, הטענה נכונה עבור $n = k$:

צריך להוכיח את הטענה עבור $n = k+1$:

המחובר החדש: $(k+1)\big(3(k+1)-1\big) = (k+1)(3k+2)$

מציבים את ההנחה באגף שמאל: $k^2(k+1) + (k+1)(3k+2)$

מוציאים גורם משותף: $(k+1)\left(k^2 + 3k + 2\right)$

מפרקים את הטרינום: $k^2 + 3k + 2 = (k+1)(k+2)$

לכן אגף שמאל שווה: $(k+1)(k+1)(k+2) = (k+1)^2(k+2)$

זה בדיוק אגף ימין של הטענה עבור $n = k+1$. הבדיקה נכונה, ומנכונות הטענה עבור $n = k$ נובעת נכונותה עבור $n = k+1$, ולכן הטענה נכונה לכל $n$ טבעי. מש״ל

הכלל: ישר שחותך שני ישרים מקבילים יוצר זוויות מתחלפות שוות, ובמשולש מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות. בסעיף (2): מרובע שבו זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות הוא מקבילית.

נסמן $\angle ADE = \angle EDC = \beta$, כי $DE$ חוצה את הזווית $ADC$ (נתון).

הישרים $AB \parallel DC$ והחותך $DE$ יוצרים זוויות מתחלפות שוות: $\angle AED = \angle EDC = \beta$

במשולש $ADE$ יש שתי זוויות שוות: $\angle ADE = \angle AED = \beta$

מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות, ולכן $AE = AD$. מש״ל (1)

(2) מסעיף (1): $AE = AD = 7$

הקטע $EB$: $EB = AB - AE = 12 - 7 = 5$

במרובע $EBCD$ הצלעות $EB$ ו $DC$ מקבילות (שתיהן על בסיסי הטרפז) ושוות: $EB = DC = 5$

מרובע שבו זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות הוא מקבילית, ולכן $EBCD$ מקבילית.

במקבילית צלעות נגדיות שוות: $BC = DE = 9$

היקף הטרפז: $AB + BC + CD + DA = 12 + 9 + 5 + 7 = 33$

הסרטוט עם הנתונים ועם מה שמצאנו:

הכלל: פונקציה קדומה של $f'(x)$ היא $f(x)$, ולכן $\int_a^b f'(x)\,dx = f(b) - f(a)$. את הגבולות ואת ערכי $f$ קוראים מהקשר בין סימן הנגזרת לבין נקודות הקיצון של $f$.

טבלת הסימנים של $f'(x)$, כפי שהיא נקראת מהגרף:

הנגזרת עוברת משלילית לחיובית בנקודה $x = -2$, ולכן שם המינימום של $f$, וערכו נתון: $f(-2) = -1$

הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית בנקודה $x = 1$, ולכן שם המקסימום של $f$, וערכו נתון: $f(1) = 3.5$

בין $x = -2$ לבין $x = 1$ גרף הנגזרת מעל ציר $x$, ולכן השטח המוגבל הוא:

הפונקציה הקדומה של $f'(x)$ היא $f(x)$: $S = \big[f(x)\big]_{-2}^{1} = f(1) - f(-2)$

מציבים: $S = 3.5 - (-1) = 4.5$

השטח המבוקש בסרטוט:

הכלל: $g$ היא פונקציה קדומה של $f$. הנגזרת של $\sqrt{h(x)}$ היא $\dfrac{h'(x)}{2\sqrt{h(x)}}$, ולכן מחפשים שורש שהנגזרת שלו נותנת את $f$; את הקבוע $C$ מוצאים מהנקודה הנתונה.

כותבים את המונה כנגזרת הפנימית: $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 16}} = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 16}}$

זו בדיוק הנגזרת של השורש: $\left(\sqrt{x^2 + 16}\right)' = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 16}}$

לכן: $g(x) = \sqrt{x^2 + 16} + C$

מציבים את הנקודה $(3,\,1)$: $\sqrt{3^2 + 16} + C = 1$

הפונקציה: $g(x) = \sqrt{x^2 + 16} - 4$

(2) נקודת הקיצון נמצאת היכן ש $g'(x) = 0$: $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 16}} = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0$

טבלת הסימנים של $g'(x) = f(x)$:

ערך הפונקציה: $g(0) = \sqrt{0 + 16} - 4 = 0$

בנקודה $x = 0$ הנגזרת עוברת משלילית לחיובית, ולכן $(0,\,0)$ היא נקודת מינימום.