קיץ 2024 · מועד ב

בגרות במתמטיקה, שאלון 571: 8 שאלות, עם פתרון מלא לכל סעיף.

נתון

נתונה הפונקציה $\;f(x)=\sqrt{x}$ , המוגדרת בתחום $x\ge0$ , ונתונה הפונקציה $\;g(x)=\dfrac{16}{x^2+3}$ , המוגדרת לכל $x$ .

סעיף א(1)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $g(x)$ , וקבעו את סוגה.

$g(x)=16\left(x^2+3\right)^{-1}$

כלל השרשרת: $\;g'(x)=-16\left(x^2+3\right)^{-2}\cdot2x=\dfrac{-32x}{\left(x^2+3\right)^2}$
$g'(x)=0\;\Rightarrow\;x=0$
טבלת הסימנים (המכנה חיובי תמיד):
$x$
$x<0$
קיצון
$x=0$
$x>0$
$-32x$ + 0 −
$g'(x)$ + 0max · מקסימום −
$g(0)=\dfrac{16}{0+3}=\dfrac{16}{3}$

$x$	$x<0$	קיצון $x=0$	$x>0$
$-32x$	+	0	−
$g'(x)$	+	0max · מקסימום	−

מקסימום

\;\left(0,\,\dfrac{16}{3}\right)

סעיף א(2)

מצאו את שיעורי נקודות הפיתול של הפונקציה $g(x)$ .

כלל המנה עם $\;u=-32x$ , $\;v=\left(x^2+3\right)^2$ :

$u'=-32$ , $\;\;v'=2\left(x^2+3\right)\cdot2x=4x\left(x^2+3\right)$
$g''(x)=\dfrac{-32\left(x^2+3\right)^2-(-32x)\cdot4x\left(x^2+3\right)}{\left(x^2+3\right)^4}$
מצמצמים ב- $\left(x^2+3\right)$ :

$g''(x)=\dfrac{-32\left(x^2+3\right)+128x^2}{\left(x^2+3\right)^3}$

מכנסים: $\;g''(x)=\dfrac{96x^2-96}{\left(x^2+3\right)^3}=\dfrac{96\left(x^2-1\right)}{\left(x^2+3\right)^3}$
$g''(x)=0\;\Rightarrow\;x^2=1\;\Rightarrow\;x=\pm1$

טבלת הסימנים של $g''$ (המכנה חיובי):

$x$	$x<-1$	פיתול $x=-1$	$-1<x<1$	פיתול $x=1$	$x>1$
$g''(x)$	+	0	−	0	+
צורה	קעורה כלפי מעלה		קעורה כלפי מטה		קעורה כלפי מעלה

בשתי הנקודות $g''$ מחליפה סימן, ולכן אלה נקודות פיתול.

נקודות פיתול:

\;(-1,\,4)\;

ו-

\;(1,\,4)

סעיף א(3)

סרטטו במערכת צירים אחת סקיצה של כל אחת מן הפונקציות $f(x)$ ו- $g(x)$ .

סעיף ב

בנקודה $C(t,\,0)$ , $\;t>0$ , מעבירים אנך לציר ה- $x$ . האנך חותך את גרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה $A$ ואת הגרף של הפונקציה $g(x)$ בנקודה $B$ .

הביעו באמצעות $t$ את מכפלת אורכי הקטעים $AC$ ו- $BC$ .

סעיף ג

הוכיחו כי מכפלת אורכי הקטעים $AC$ ו- $BC$ מקסימלית כאשר הנקודה $B$ היא נקודת פיתול של הפונקציה $g(x)$ .

נסמן $\;P(t)=\dfrac{16\sqrt t}{t^2+3}$ , $\;t>0$ .

כלל המנה עם $\;u=16\sqrt t$ , $\;v=t^2+3$ :

$u'=\dfrac{8}{\sqrt t}$ , $\;\;v'=2t$
$P'(t)=\dfrac{\frac{8}{\sqrt t}\left(t^2+3\right)-16\sqrt t\cdot2t}{\left(t^2+3\right)^2}$
כופלים מונה ומכנה ב- $\sqrt t$ :

$P'(t)=\dfrac{8\left(t^2+3\right)-32t^2}{\sqrt t\left(t^2+3\right)^2}$

מכנסים: $\;P'(t)=\dfrac{24-24t^2}{\sqrt t\left(t^2+3\right)^2}=\dfrac{24\left(1-t^2\right)}{\sqrt t\left(t^2+3\right)^2}$
$P'(t)=0\;\Rightarrow\;t^2=1\;\Rightarrow\;t=1$ (כי $t>0$ )
טבלת הסימנים (המכנה חיובי):
$x$
$0<t<1$
קיצון
$t=1$
$t>1$
$1-t^2$ + 0 −
$P'(t)$ + 0max · מקסימום −
המכפלה מקסימלית בעבור $t=1$ .
בעבור $t=1$ : $\;B\big(1,\,g(1)\big)=(1,\,4)$ — זו בדיוק נקודת הפיתול של $g$ שמצאנו בסעיף א(2). מש״ל

$x$	$0<t<1$	קיצון $t=1$	$t>1$
$1-t^2$	+	0	−
$P'(t)$	+	0max · מקסימום	−

הוכח: המכפלה מקסימלית בעבור

t=1

, ואז

B=(1,\,4)

— נקודת פיתול של

g

סעיף ד

נתונה הפונקציה $\;k(x)=\dfrac{8\sqrt{x-4}}{(x-4)^2+3}$ , המוגדרת בתחום $x\ge4$ .

היעזרו בסעיפים הקודמים של השאלה. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה $k(x)$ , וקבעו את סוגה. נמקו את תשובתכם.

מקור פתרון: נכתב ונבדק על-ידי הצוות

איך מצליחים בבגרות עם ללמוד בדרך שלך

1מסלול לימוד לפי נושאים. כל נושא בנוי כסולם של רמות: לומדים את הרעיון, מתחממים, מבססים, מתאתגרים, ומגיעים לשאלת בגרות אמיתית.
2עזרה כשנתקעים. רמזים מדורגים ומורה פרטי שמסביר את הדרך, בלי לתת את התשובה.
3תיקון בדיוק איפה שטועים. המסלול מזהה טעות שחוזרת ומציע תרגול ממוקד עד שזה יושב.
4ובסוף, בגרויות אמיתיות. שאלונים משנים קודמות, עם פתרון מלא לכל סעיף, כמו כאן.

אפשר לתרגל בחינם, ומי שרוצה יכול לשדרג למנוי Pro.