קיץ 2024 · מועד ב

הסרטוט, עם המעגל החוסם את $CEFO$ (מקווקו). הזוויות המסומנות בקשת אחת שוות — זה מה שנוכיח:

$\angle EFO+\angle ECO=180^{\circ}$ (במרובע בר-חסימה $CEFO$ סכום זוויות נגדיות $180^{\circ}$)

$\angle EFB+\angle EFO=180^{\circ}$ (זוויות צמודות — $B$, $F$, $O$ על ישר אחד)

משתי המשוואות: $\;\angle EFB=\angle ECO$

$\angle ECO=\angle BCO$ (הנקודה $E$ על הצלע $BC$)

$\angle BCO=\angle CBO$ (במשולש $OBC$: $OB=OC$ רדיוסים, וזוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים שוות)

לכן $\;\angle EFB=\angle CBO=\angle EBF$ ($E$ על $BC$ ו-$F$ על $BO$).

במשולש $EFB$ שתי זוויות שוות, ולכן הצלעות שמולן שוות: $\;EF=EB$. מש״ל

הסרטוט עם $D$, והמקבילית המבוקשת מודגשת:

זוג ראשון: $\;ED\parallel OB\;$ (נתון $ED\parallel AB$, והנקודות $O$, $B$ על $AB$)

$\angle DOC=\angle DEC$ (זוויות היקפיות במעגל החוסם את $CEFO$, הנשענות על המיתר $DC$)

$\angle DEC=\angle ABC$ (זוויות מתאימות: $ED\parallel AB$ והישר $BC$ חותך אותם)

$\angle ABC=\angle OCB$ (במשולש $OBC$: $OB=OC$ רדיוסים)

לכן $\;\angle DOC=\angle OCB$. אלה זוויות מתחלפות בין הישרים $DO$ ו-$BC$ עם החותך $OC$, ולכן $\;DO\parallel BC$, כלומר $DO\parallel BE$.

זוג שני: $\;DO\parallel BE$. במרובע $EDOB$ שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות, ולכן הוא מקבילית. מש״ל

$\angle ACB=90^{\circ}$ (זווית היקפית הנשענת על הקוטר $AB$), כלומר $\;BC\perp AC$.

$DO\parallel BC$ (תת-סעיף 1).

ישר המאונך לאחד משני ישרים מקבילים מאונך גם לשני, ולכן $\;OD\perp AC$. מש״ל

הסרטוט:

(מסקנה שתשמש בסעיף ג: $\;\angle ODC=90^{\circ}$. וגם — האנך מהמרכז למיתר חוצה אותו, ולכן $D$ היא אמצע $AC$.)

$\angle ODC=90^{\circ}$ (תת-סעיף ב(2)). $D$ נמצאת על המעגל החוסם את $CEFO$, ולכן זו זווית היקפית ישרה במעגל הזה, והיא נשענת על קוטר: $OC$ הוא קוטר של המעגל החוסם את $CEFO$.

$\ell$ משיק למעגל הגדול בנקודה $C$, ולכן $\;\ell\perp OC$ (משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה).

הישר $\ell$ עובר בנקודה $C$, שהיא קצה של הקוטר $OC$ במעגל הקטן, ומאונך לקוטר הזה. ישר המאונך לרדיוס בקצהו משיק למעגל, ולכן $\ell$ משיק למעגל החוסם את $CEFO$ בנקודה $C$. מש״ל

הסרטוט — שני המעגלים משיקים זה לזה ב-$C$, והישר $\ell$ משיק לשניהם: