קיץ 2024 · מועד ב

אנכית: המכנה $(x-a)^3$ מתאפס רק בנקודה $x=a$.

אם $a\neq1$: המונה שם הוא $a-1\neq0$, ולכן יש אסימפטוטה אנכית $x=a$.

אם $a=1$: $\;f(x)=\dfrac{x-1}{(x-1)^3}=\dfrac{1}{(x-1)^2}$, ועדיין יש אסימפטוטה אנכית $x=1$, כלומר $x=a$.

אופקית: דרגת המונה $1$ קטנה מדרגת המכנה $3$, ולכן $\;\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$: האסימפטוטה היא $y=0$.

נקודת חיתוך עם ציר ה-$y$ היא הנקודה שבה $x=0$. הנקודה בתחום, כי $a\neq0$.

מציבים: $\;f(0)=\dfrac{0-1}{(0-a)^3}=\dfrac{-1}{-a^3}=\dfrac{1}{a^3}$

שימו לב לסימן: אם $a>0$ החיתוך מעל הראשית, ואם $a<0$ הוא מתחת לראשית. זה יעזור בסעיף ג.

כלל המנה עם $\;u=x-1$, $\;v=(x-a)^3$:

$u'=1$, $\;\;v'=3(x-a)^2$

מצמצמים ב-$(x-a)^2$ (שונה מאפס בתחום):

$f'(x)=\dfrac{(x-a)-3(x-1)}{(x-a)^4}$

פותחים את המונה: $\;x-a-3x+3=-2x+3-a$

הנקודה בתחום רק אם $\;\dfrac{3-a}{2}\neq a$, כלומר $a\neq1$. (בעבור $a=1$ הפונקציה היא $\dfrac{1}{(x-1)^2}$, ואין לה קיצון.)

משמאל לאסימפטוטה:

$\dfrac{3-a}{2}<a\;\Rightarrow\;3-a<2a\;\Rightarrow\;a>1$

טבלת הסימנים בעבור $a>1$ (המכנה $(x-a)^4$ חיובי, והמונה $-2x+3-a$ יורד):

הנגזרת עוברת מחיובי לשלילי, ולכן זו נקודת מקסימום.

שיעור ה-$y$ (לא נדרש, אבל שימושי בסעיף ג):

$x-1=\dfrac{1-a}{2}$, $\;\;x-a=\dfrac{3(1-a)}{2}$

$f=\dfrac{\frac{1-a}{2}}{\frac{27(1-a)^3}{8}}=\dfrac{4}{27(a-1)^2}$

טבלת תכונות (אסימפטוטה $x=a$; חיתוך עם ציר $y$ ב-$\dfrac{1}{a^3}$; אפס ב-$x=1$ כש-$a\neq1$; מקסימום ב-$x=\dfrac{3-a}{2}$):

I ($a=-1$) ← גרף 4: זה הערך היחיד שבו האסימפטוטה משמאל לציר ה-$y$. בגרף 4 האסימפטוטה משמאל לציר, והגרף חותך את ציר ה-$y$ מתחת לראשית ($-1$).

III ($a=1$) ← גרף 2: בעבור $a=1$, $\;f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}>0$ לכל $x$: אין אפסים ואין קיצון. בגרף 2 שני הענפים מעל ציר ה-$x$ ועולים לאינסוף ליד האסימפטוטה.

IV ($a=2$) ← גרף 1: מסעיף ב, הקיצון משמאל לאסימפטוטה רק כש-$a>1$. בגרף 1 המקסימום משמאל לאסימפטוטה (קרוב לציר $y$).

II ($a=0.5$) ← גרף 3: המקסימום ב-$x=1.25$, מימין לאסימפטוטה $x=0.5$, אחרי האפס $x=1$. כך בגרף 3. גם החיתוך הגבוה עם ציר $y$ ($8$) מתאים.

גרף 2 מתאים ל-$a=1$ (סעיף ג), ולכן:

$f(x)=\dfrac{x-1}{(x-1)^3}=\dfrac{1}{(x-1)^2}$

$g(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}-b$

האסימפטוטה האופקית של $g$: $\;f\to0$ בקצוות, ולכן $g\to-b$: $y=-b$.

המרחק האנכי בין הגרף לאסימפטוטה: $\;g(x)-(-b)=\dfrac{1}{(x-1)^2}>0$. הגרף מעל האסימפטוטה, והשטח הוא:

$S=\displaystyle\int_t^5\dfrac{1}{(x-1)^2}\,dx$

הפונקציה הקדומה של $(x-1)^{-2}$ היא $\;-\dfrac{1}{x-1}$:

$S=\left[-\dfrac{1}{x-1}\right]_t^5=-\dfrac14+\dfrac{1}{t-1}$

הנתון $S=1.75$: $\;\dfrac{1}{t-1}-\dfrac14=1.75\;\Rightarrow\;\dfrac{1}{t-1}=2\;\Rightarrow\;t=1.5$

(מקיים $1<t<5$ ✓)

$(t,\,0)$ על ציר ה-$x$, ולכן $g(1.5)=0$:

$\dfrac{1}{(1.5-1)^2}-b=0\;\Rightarrow\;\dfrac{1}{0.25}=b\;\Rightarrow\;b=4$