קיץ 2024 · מועד ב

התחום $-\pi\le x\le\pi$ סימטרי סביב $0$, ולכן אפשר לבדוק זוגיות.

$\cos(-x)=\cos x$ וגם $\sin(-x)=-\sin x$, ולכן:

$f(-x)=(b+\cos x)\cdot(-\sin x)=-f(x)$

הפונקציה אי-זוגית (לכל ערך של $b$).

מכפלה מתאפסת כאשר אחד הגורמים מתאפס: $\;f(x)=0\;$ כאשר $\;\sin x=0\;$ או $\;\cos x=-b$

$\sin x=0$ בתחום: $\;x=-\pi,\;0,\;\pi$ — כבר שלוש נקודות, לכל ערך של $b$.

לכן דרוש שהמשוואה $\cos x=-b$ לא תוסיף נקודות חדשות.

I ($b=0$): $\;\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\pm\dfrac{\pi}{2}$ — עוד שתי נקודות, סך הכול $5$. נפסל.

II ($0<b<1$): $\;-1<-b<0$, ולמשוואה $\cos x=-b$ שני פתרונות בתחום (אחד בין $\dfrac{\pi}{2}$ ל-$\pi$ ותמונת המראה שלו). סך הכול $5$. נפסל.

III ($b\ge1$): אם $b=1$: $\;\cos x=-1\;\Rightarrow\;x=\pm\pi$, נקודות שכבר נספרו. אם $b>1$: $\;-b<-1$, ואין פתרון. בשני המקרים יש בדיוק $3$ נקודות ✓

כלל המכפלה עם $\;u=b+\cos x$, $\;v=\sin x$:

$f'(x)=-\sin x\cdot\sin x+(b+\cos x)\cos x$

$f'(x)=-\sin^2x+b\cos x+\cos^2x$

מחליפים $\;\sin^2x=1-\cos^2x$:

$f'(x)=-1+\cos^2x+b\cos x+\cos^2x$

מציבים $\cos x=\dfrac14$:

$f'=2\cdot\dfrac{1}{16}+\dfrac{b}{4}-1=\dfrac{b}{4}-\dfrac78$

מתאים לסעיף ב ($b\ge1$) ✓

נסמן $t=\cos x$: $\;2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)$

$f'(x)=(2\cos x-1)(\cos x+1)$

$f'(x)=0$:

$\cos x=\dfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\dfrac{\pi}{3}$

$\cos x=-1\;\Rightarrow\;x=\pm\pi$ (קצות התחום)

טבלת הסימנים ($\cos x+1>0$ בתוך התחום, ולכן הסימן הוא של $2\cos x-1$):

שיעורי $y$ בנקודות הפנימיות:

$f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\left(1+\dfrac12\right)\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{3\sqrt3}{4}\approx1.30$

$f\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{3\sqrt3}{4}$ ($f$ אי-זוגית)

קצות התחום: $\;f(-\pi)=f(\pi)=0$.

מימין ל-$x=-\pi$ הפונקציה יורדת, ולכן $(-\pi,\,0)$ היא נקודת קצה מקסימום.

משמאל ל-$x=\pi$ הפונקציה יורדת, ולכן $(\pi,\,0)$ היא נקודת קצה מינימום.

נקודות חיתוך עם הצירים (סעיף ב, $b=1$): $\;(-\pi,\,0)$, $(0,\,0)$, $(\pi,\,0)$

קיצון (סעיף ד): מינימום $\left(-\dfrac{\pi}{3},\,-\dfrac{3\sqrt3}{4}\right)$, מקסימום $\left(\dfrac{\pi}{3},\,\dfrac{3\sqrt3}{4}\right)$

מונוטוניות: יורדת ב-$-\pi<x<-\dfrac{\pi}{3}$, עולה ב-$-\dfrac{\pi}{3}<x<\dfrac{\pi}{3}$, יורדת ב-$\dfrac{\pi}{3}<x<\pi$.

סימן: $1+\cos x\ge0$, ולכן הסימן של $f$ הוא הסימן של $\sin x$: שלילית ב-$-\pi<x<0$ וחיובית ב-$0<x<\pi$.

בקצוות $x=\pm\pi$ הנגזרת מתאפסת ($f'(\pm\pi)=2-1-1=0$), ולכן הגרף מגיע לקצוות "שטוח", כמעט משיק לציר (ראו סקיצה).

$f'(x)=2\cos^2x+\cos x-1$ בנויה רק מ-$\cos x$, ולכן היא פונקציה זוגית: הגרף סימטרי ביחס לציר ה-$y$.

ערכים בולטים:

$f'(0)=2+1-1=2$

$f'\left(\pm\dfrac{\pi}{3}\right)=0$ (סעיף ד)

$f'(\pm\pi)=2-1-1=0$

סימן (מטבלת הסימנים בסעיף ד): חיובית ב-$-\dfrac{\pi}{3}<x<\dfrac{\pi}{3}$, שלילית ב-$\dfrac{\pi}{3}<|x|<\pi$.

קיצון של $f'$: $\;f''(x)=-4\cos x\sin x-\sin x=-\sin x\,(4\cos x+1)$

$f''=0$: $\;\sin x=0\;$ ($x=0,\pm\pi$) או $\;\cos x=-\dfrac14\;$ ($x\approx\pm1.82$)

הערך המינימלי, כש-$\cos x=-\dfrac14$:

$f'=2\cdot\dfrac{1}{16}-\dfrac14-1=-\dfrac98$

והמקסימום ב-$x=0$ הוא $2$.

הגרף: מ-$(-\pi,\,0)$ יורד למינימום $-\dfrac98$, עולה דרך $-\dfrac{\pi}{3}$ למקסימום $(0,\,2)$, יורד דרך $\dfrac{\pi}{3}$ למינימום $-\dfrac98$, ועולה בחזרה ל-$(\pi,\,0)$ (ראו סקיצה).

סימן: $\big(f(x)\big)^2\ge0$, ולכן הסימן של $g$ הוא הסימן של $f'$ (סעיף ד):

$0<x<\dfrac{\pi}{3}$: $\;f'>0$, ולכן $g>0$ (רביע ראשון)

$\dfrac{\pi}{3}<x<\pi$: $\;f'<0$, ולכן $g<0$ (רביע רביעי)

לכן השטח ברביע הראשון הוא בין $x=0$ ל-$x=\dfrac{\pi}{3}$:

$S=\displaystyle\int_0^{\pi/3}\big(f(x)\big)^2\cdot f'(x)\,dx$

הפונקציה הקדומה: לפי כלל השרשרת

$\left(\dfrac{\big(f(x)\big)^3}{3}\right)'=\dfrac{3\big(f(x)\big)^2\cdot f'(x)}{3}=\big(f(x)\big)^2 f'(x)=g(x)$

מסעיף ד: $\;f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{3\sqrt3}{4}$, ו-$f(0)=0$.

$\left(\dfrac{3\sqrt3}{4}\right)^3=\dfrac{27\cdot3\sqrt3}{64}=\dfrac{81\sqrt3}{64}$